《高等数学》（同济大学·第7版）第九章 多元函数微分法及其应用第三节多元复合函数的求导法则

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同学们好！今天我们学习《高等数学》（同济·第7版）第九章第三节多元复合函数求导法则。我会用“买菜路线”和“温度变化”两个生活例子，带你彻底理解这个核心概念。如果中途有疑问，随时提出，我们一步步解决！

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一、从买菜路线说起：为什么需要链式法则？

场景：
小明从家出发，先骑车到菜市场（路程 x 公里），再步行到超市（路程 y 公里）。

• 已知：骑车速度 v_x = 20 km/h，步行速度 v_y = 5 km/h。
• 问题：如何计算小明从家到超市的总时间？
  直接计算：
  总时间 T = x/20 + y/5。
  但若路程随时间变化（比如堵车导致 x 增加），能否用链式法则快速估算时间变化率？
  答案：用链式法则！
  dT/dt = (∂T/∂x) * (dx/dt) + (∂T/∂y) * (dy/dt) = (1/20) * v_x’ + (1/5) * v_y’
  （这里假设 x 和 y 随时间 t 变化）

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二、核心概念：链式法则

1. 单变量复合函数

例子：z = f(u)，u = g(x)

• 求导公式：
  dz/dx = (dz/du) * (du/dx)
• 几何意义：斜率相乘（如 z = u²，u = 3x，则 dz/dx = 2u * 3 = 18x）。

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2. 多变量复合函数

例子：z = f(x, y)，x = u(t)，y = v(t)

• 求导公式（链式法则）：
  dz/dt = (∂z/∂x) * (dx/dt) + (∂z/∂y) * (dy/dt)
• 口诀：分线相乘，连线相加。

几何意义：

• 曲面 z = f(x, y) 在参数曲线 (u(t), v(t)) 上的切线斜率。

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三、分步拆解：温度变化的例子

问题：空气温度 T 随位置 (x, y) 和时间 t 变化，T = x² + y sin t。

• 已知：x = 2t，y = 3t²。
• 求：温度随时间的变化率 dT/dt。

步骤1：画变量关系图
t → x=2t → T
t → y=3t² → T

步骤2：应用链式法则
dT/dt = (∂T/∂x) * (dx/dt) + (∂T/∂y) * (dy/dt)

步骤3：计算各部分导数

• ∂T/∂x = 2x
• ∂T/∂y = sin t
• dx/dt = 2
• dy/dt = 6t

步骤4：代入公式
dT/dt = 2x * 2 + sin t * 6t = 4x + 6t sin t
步骤5：替换中间变量（x=2t）
dT/dt = 4*(2t) + 6t sin t = 8t + 6t sin t

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四、高阶偏导数的链式法则

例子：求 z = f(u, v)，u = x + y，v = xy 的二阶混合偏导数 ∂²z/∂x∂y。

步骤1：求一阶偏导数

• ∂z/∂x = (∂f/∂u) * 1 + (∂f/∂v) * y
• ∂z/∂y = (∂f/∂u) * 1 + (∂f/∂v) * x

步骤2：对 ∂z/∂x 再求关于 y 的偏导
∂²z/∂y∂x = ∂/∂y [ ∂f/∂u + y * (∂f/∂v) ]

• 使用乘积法则：
  = (∂²f/∂u²) * 1 + (∂²f/∂u∂v) * x + ∂f/∂v + y * [ (∂²f/∂v∂u) * 1 + (∂²f/∂v²) * x ]

步骤3：整理结果
∂²z/∂x∂y = f_uu + x f_uv + f_v + y f_vu + xy f_vv
（若 f 的二阶偏导连续，则 f_uv = f_vu）

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五、定理与注意事项

1. 链式法则定理

条件：

• 外层函数 f(u, v) 的偏导数连续。
• 内层函数 u(x, y) 和 v(x, y) 可导。

结论：
∂z/∂x = (∂z/∂u) * (∂u/∂x) + (∂z/∂v) * (∂v/∂x)
∂z/∂y = (∂z/∂u) * (∂u/∂y) + (∂z/∂v) * (∂v/∂y)

2. 常见错误

• 漏项：忘记某个中间变量的路径。
• 混淆变量：误将 ∂z/∂u 当成 dz/du（实际是偏导数）。

反例：
设 z = u + v，u = x²，v = y²，求 ∂z/∂x。

• 正确解：∂z/∂x = 2x + 0 = 2x。
• 错误解：误将 v 视为 x 的函数，得到 2x + 2y。

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六、实际应用

1. 物理中的运动轨迹

问题：质点位置 r(t) = (x(t), y(t))，求速度和加速度。

• 速度：v = (dx/dt, dy/dt)
• 加速度：a = (d²x/dt², d²y/dt²)

2. 经济学中的多变量模型

问题：成本函数 C = wL + rK，其中工资 w 和租金 r 随时间 t 变化。

• 总成本变化率：
  dC/dt = w * (dL/dt) + L * (dw/dt) + r * (dK/dt) + K * (dr/dt)

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