《高等数学》（同济大学·第7版）第四章第四节有理函数的积分

一、有理函数积分的基本概念

1. 什么是有理函数？
   有理函数是指两个多项式相除的形式：
   R(x) = P(x)/Q(x)
   其中P(x)和Q(x)都是多项式。

2. 真分式与假分式

• 真分式：分子次数小于分母次数
  例如：(x+1)/(x²+2x+3)
• 假分式：分子次数大于等于分母次数
  例如：(x³+2x)/(x²+1)

二、有理函数积分的解题步骤
第一步：判断分式类型
如果是假分式，先用多项式除法化为多项式与真分式的和。

第二步：分母因式分解
将分母Q(x)分解为：

1. 一次因式 (x-a)
2. 二次不可约因式 (x²+bx+c)

第三步：部分分式分解
根据分母因式类型，将分式拆解为简单分式的和：

1. 对于单重一次因式 (x-a)：
   A/(x-a)
2. 对于多重一次因式 (x-a)ⁿ：
   A₁/(x-a) + A₂/(x-a)² + … + Aₙ/(x-a)ⁿ
3. 对于二次因式 (x²+bx+c)：
   (Ax+B)/(x²+bx+c)

第四步：确定待定系数
通过比较系数法或赋值法求出A,B等系数。

第五步：逐项积分
对分解后的简单分式分别积分。

三、典型例题详解
例题1：求∫(x+5)/(x²-3x+2) dx
解：

1. 分母分解：(x²-3x+2)=(x-1)(x-2)
2. 设部分分式：
   (x+5)/[(x-1)(x-2)] = A/(x-1) + B/(x-2)
3. 通分比较：
   x+5 = A(x-2) + B(x-1)
4. 求系数：
   令x=1 ⇒ 6=-A ⇒ A=-6
   令x=2 ⇒ 7=B ⇒ B=7
5. 积分结果：
   -6ln|x-1| + 7ln|x-2| + C

例题2：求∫(2x²+3x-1)/(x³+x) dx
解：

1. 分母分解：x³+x = x(x²+1)
2. 设部分分式：
   (2x²+3x-1)/[x(x²+1)] = A/x + (Bx+C)/(x²+1)
3. 比较系数求A,B,C
4. 积分结果：
   -ln|x| + (3/2)ln(x²+1) + 3arctanx + C

四、特殊情形处理

1. 分母有重因式时：
   例如：(x²+1)/[(x-1)²(x+2)]
   分解时要包含：(A/(x-1)) + (B/(x-1)²) + (C/(x+2))

2. 分母有二次不可约因式时：
   例如：1/(x³+1) = 1/[(x+1)(x²-x+1)]
   分解为：A/(x+1) + (Bx+C)/(x²-x+1)

五、常见错误提醒

1. 忘记先判断分式真假
2. 分母因式分解不彻底
3. 部分分式设置不正确
4. 积分时漏掉绝对值符号
5. 忘记最后的常数C