《高等数学》（同济大学·第7版）第十二章 无穷级数 第五节函数的幂级数展开式的应用

一、幂级数展开的核心作用

幂级数展开不仅是理论工具，更是解决实际问题的计算利器，主要应用包括：
近似计算：用多项式逼近复杂函数（如计算函数值、积分值）。
求解微分方程：将解表示为幂级数形式，逐项代入方程求解。
求和与积分：将难以处理的级数转化为已知函数的展开式。
分析函数性质：通过展开式研究函数的极值、拐点等。

二、典型应用详解
近似计算函数值

原理：用泰勒多项式的前几项近似代替原函数。
关键步骤：
写出函数的麦克劳林展开式。
截取前 n 项作为近似值。
估计误差（利用余项公式）。

示例：计算 e^{0.1} 的近似值（保留4位小数）
展开式： e^x = 1 + x + (x^2 / 2!) + (x^3 / 3!) + …
代入 x=0.1 ：
e^{0.1} ≈ 1 + 0.1 + (0.01 / 2) + (0.001 / 6) = 1.105166…
误差估计：余项 R_4 = (e^ξ / 5!) * (0.1)^5 （ ξ 在0和0.1之间），由于 e^ξ < e^{0.1} < 1.11 ，误差小于 (1.11 / 120) * 0.00001 ≈ 9.25 × 10^{-8} ，满足精度要求。

求解微分方程

原理：假设解为幂级数 y = Σ_{n=0}^∞ a_n x^n ，代入微分方程后比较系数。
示例：解方程 y’ = y （已知解为 y = Ce^x ）
步骤：
设解为 y = Σ_{n=0}^∞ a_n x^n ，则 y’ = Σ_{n=1}^∞ n a_n x^{n-1} 。
代入方程： Σ_{n=1}^∞ n a_n x^{n-1} = Σ_{n=0}^∞ a_n x^n 。
调整下标（令 k = n-1 ）：
Σ_{k=0}^∞ (k+1) a_{k+1} x^k = Σ_{k=0}^∞ a_k x^k
比较系数得递推关系： (k+1)a_{k+1} = a_k ，即 a_{k+1} = a_k / (k+1) 。
解得： a_n = a_0 / n! ，故 y = a_0 Σ_{n=0}^∞ (x^n / n!) = a_0 e^x 。

求级数的和与积分

原理：将级数转换为已知函数的展开式，再逐项积分或求和。
示例：求 Σ_{n=1}^∞ [(-1)^{n-1} / n] 的和
步骤：
已知 ln(1+x) = Σ_{n=1}^∞ [(-1)^{n-1} x^n] / n （收敛域 -1 < x ≤ 1 ）。
令 x=1 ，得：
ln 2 = Σ_{n=1}^∞ [(-1)^{n-1} / n]
结论：该级数和为 ln 2 ≈ 0.6931 。

分析函数性质

示例：研究函数 f(x) = (1 - x)/(1 + x) 的单调性
步骤：
展开为麦克劳林级数：
(1 - x)/(1 + x) = (1 - x) * Σ_{n=0}^∞ (-1)^n x^n = Σ_{n=0}^∞ (-1)^n x^n - Σ_{n=0}^∞ (-1)^n x^{n+1}
合并后得：1 + 2 Σ_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^n
分析系数符号：奇次项系数为正，偶次项系数为负，说明函数在收敛域内先增后减。

三、应用中的关键技巧
间接展开法

核心思想：通过已知展开式变形，避免直接求导。
常用技巧：
变量替换：如 1/(1 + x^2) = Σ_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n} （令 t = -x^2 代入 1/(1 - t) 的展开式）。
逐项积分/求导：如 arctan x = ∫_0^x [1/(1 + t^2)] dt = Σ_{n=0}^∞ [(-1)^n t^{2n+1}] / (2n+1) dt = Σ_{n=0}^∞ [(-1)^n x^{2n+1}] / (2n+1)。

收敛域的重要性

示例：展开 ln(1 + x) 时，收敛域为 -1 < x ≤ 1 ，在 x=1 处条件收敛，但 x=-1 处发散。
检验方法：比值法、根值法或直接代入端点判断。

误差控制

余项估计：利用泰勒公式的余项 R_n(x) 估计近似值的误差。
示例：计算 sin 0.5 时，取前3项（ x - x^3/6 ）误差小于 (0.5)^5 / 120 ≈ 0.000026 。

四、综合例题解析

题目：用幂级数求微分方程 y’’ + xy’ + y = 0 的解（满足 y(0)=1, y’(0)=0）
解答：
设解为 y = Σ_{n=0}^∞ a_n x^n ，则：
y’ = Σ_{n=1}^∞ n a_n x^{n-1}
y’’ = Σ_{n=2}^∞ n(n-1) a_n x^{n-2}
代入方程：
Σ_{n=2}^∞ n(n-1) a_n x^{n-2} + x * Σ_{n=1}^∞ n a_n x^{n-1} + Σ_{n=0}^∞ a_n x^n = 0
调整下标统一为 x^k ：
y’’ 项： Σ_{k=0}^∞ (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k
xy’ 项： Σ_{k=1}^∞ k a_k x^k
y 项： Σ_{k=0}^∞ a_k x^k
合并同类项：
Σ_{k=0}^∞ [ (k+2)(k+1) a_{k+2} + k a_k + a_k ] x^k = Σ_{k=0}^∞ [ (k+2)(k+1) a_{k+2} + (k+1) a_k ] x^k = 0
(注：当 k=0 时，xy’ 项为0，所以 k≥0 时系数为 (k+2)(k+1)a_{k+2} + (k+1)a_k)
令系数全为零：
(k+2)(k+1) a_{k+2} + (k+1) a_k = 0
递推公式： a_{k+2} = -a_k / (k+2)
利用初始条件 a_0 = 1, a_1 = 0 ：
a_2 = -a_0 / 2 = -1/2
a_3 = -a_1 / 3 = 0
a_4 = -a_2 / 4 = (1/2)/4 = 1/8
a_5 = -a_3 / 5 = 0
以此类推，得解：
y = 1 - (1/2)x^2 + (1/8)x^4 - …

五、常见误区与注意事项
混淆展开式与原函数：展开式仅在收敛域内与原函数等价，超出范围可能发散。
忽略余项检验：近似计算时必须估算误差，避免错误结论。
端点处理：收敛域端点需单独用交错级数判别法等检验。

六、总结

幂级数展开的应用是连接数学理论与实际问题的桥梁，核心方法包括：
直接展开：通过求导计算系数（适用于简单函数）。
间接展开：利用已知展开式变形（适用于复杂函数）。
应用场景：近似计算、微分方程、积分求和等。