《高等数学》（同济大学·第7版）第七章 微分方程 第四节一阶线性微分方程

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同学们好！今天我们学习《高等数学》第七章第四节“一阶线性微分方程”。这是一阶微分方程中最重要、应用最广泛的一类方程，掌握它的解法对后续学习（如微分方程的应用、高阶线性微分方程）至关重要。我会用最通俗的语言，结合大量例子，帮你彻底掌握“一阶线性微分方程”的定义、解法和核心思想。

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一、一阶线性微分方程的定义：长什么样？

1. 标准形式

一阶线性微分方程的标准形式是：
dy/dx + P(x) y = Q(x)
其中 P(x) 和 Q(x) 是关于 x 的已知函数（可能是常数，也可能是 x 的复杂函数）。

2. 分类：齐次 vs 非齐次

• 齐次方程：当 Q(x) ≡ 0 时，方程变为 dy/dx + P(x) y = 0（右边为0）。
• 非齐次方程：当 Q(x) 不恒等于 0 时，方程称为非齐次线性微分方程（右边不为0）。

3. 核心特点

方程中 y 和 dy/dx 都是一次的（没有 y²、(y’)²、yy’ 等高次项或乘积项），且 y 和 dy/dx 都是一次的线性组合。

例子：

• 齐次方程：dy/dx + 2x y = 0（P(x)=2x，Q(x)=0）。
• 非齐次方程：dy/dx + (1/x) y = x²（P(x)=1/x，Q(x)=x²）。
• 非线性方程（对比）：dy/dx + y² = x（含 y²，不是线性的）。

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二、齐次线性微分方程的解法：分离变量法

先解决最简单的齐次方程 dy/dx + P(x) y = 0，它的解法是分离变量法（我们上节课学过的方法）。

步骤1：分离变量

将方程改写为：
dy/dx = -P(x) y
分离变量得：
(1/y) dy = -P(x) dx

步骤2：两边积分

对两边积分：
∫ (1/y) dy = -∫ P(x) dx

步骤3：整理通解

左边积分得 ln|y| + C₁，右边积分得 -∫ P(x) dx + C₂（C₁, C₂ 是常数）。合并常数后：
ln|y| = -∫ P(x) dx + C
两边取指数消去对数：
|y| = exp(-∫ P(x) dx + C) = exp© * exp(-∫ P(x) dx)
令 C’ = ± exp©（C’ 是任意非零常数），则通解为：
y = C’ exp(-∫ P(x) dx)

注意：当 y=0 时，原方程左边 dy/dx + P(x) * 0 = 0，即 dy/dx=0，因此 y=0 也是一个解。但 C’=0 时，通解 y=0 已包含这个特解，因此通解中的 C’ 是任意常数（包括0）。

例1：解齐次方程 dy/dx + 2x y = 0。

解：

• 分离变量得 (1/y) dy = -2x dx。
• 积分得 ln|y| = -x² + C（右边积分 ∫ 2x dx = x²）。
• 取指数得 y = C exp(-x²)（C 是任意常数）。

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三、非齐次线性微分方程的解法：常数变易法（核心！）

非齐次方程 dy/dx + P(x) y = Q(x) 的解法比齐次方程复杂，需要用常数变易法（或直接用通解公式）。这里我们先理解常数变易法的思路。

1. 常数变易法的思想

齐次方程的通解是 y = C exp(-∫ P(x) dx)（C 是常数）。对于非齐次方程，我们猜测它的解可能是“齐次解中的常数 C 变为一个关于 x 的函数 C(x)”，即假设通解形式为：
y = C(x) exp(-∫ P(x) dx)

2. 代入原方程求 C(x)

将假设的解 y = C(x) exp(-∫ P(x) dx) 代入原非齐次方程 dy/dx + P(x) y = Q(x)，求出 C(x)。

计算 dy/dx：

由乘积法则，dy/dx = C’(x) exp(-∫ P(x) dx) + C(x) * ( - (∫ P(x) dx)’ )。
注意到 (∫ P(x) dx)’ = P(x)，因此：
dy/dx = C’(x) exp(-∫ P(x) dx) - C(x) P(x) exp(-∫ P(x) dx)

代入原方程：

将 y 和 dy/dx 代入原方程：
[ C’(x) exp(-∫ P(x) dx) - C(x) P(x) exp(-∫ P(x) dx) ] + P(x) * [ C(x) exp(-∫ P(x) dx) ] = Q(x)

化简方程：

展开后，中间的 -C(x) P(x) exp(-∫ P(x) dx) 和 +C(x) P(x) exp(-∫ P(x) dx) 抵消，剩下：
C’(x) exp(-∫ P(x) dx) = Q(x)

解 C(x)：

两边乘以 exp(∫ P(x) dx) 得：
C’(x) = Q(x) exp(∫ P(x) dx)
积分得：
C(x) = ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx + C

3. 非齐次方程的通解

将 C(x) 代入假设的解 y = C(x) exp(-∫ P(x) dx)，得到非齐次方程的通解：
y = exp(-∫ P(x) dx) * ( ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx + C )

总结：非齐次方程的通解 = 齐次方程的通解（exp(-∫ P(x) dx)） × 非齐次项的积分（∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx） + 任意常数 C。

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四、一阶线性微分方程的通解公式（直接用！）

为了方便计算，我们可以将上述过程整理为一阶线性微分方程的通解公式：

对于方程 dy/dx + P(x) y = Q(x)，其通解为：
y = exp(-∫ P(x) dx) * ( ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx + C )

关键符号解释：

• ∫ P(x) dx：表示 P(x) 的不定积分（不需要加常数，因为后面会合并）。
• exp(∫ P(x) dx)：称为积分因子（重要概念！），它的作用是将方程左边转化为某个乘积的导数。

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五、典型例题：从齐次到非齐次

例1：齐次方程（复习）

解方程 dy/dx + (1/x) y = 0（x ≠ 0）。

解：
这是齐次方程（Q(x)=0），直接用齐次方程的通解公式：
y = C exp(-∫ P(x) dx)
这里 P(x) = 1/x，所以 ∫ P(x) dx = ∫ (1/x) dx = ln|x|。
因此通解为：
y = C exp(-ln|x|) = C * (1 / |x|)
由于 C 是任意常数（可正可负），可简化为 y = C / x（C 为任意常数）。

例2：非齐次方程（直接用公式）

解方程 dy/dx + (1/x) y = x²（x > 0）。

解：
这是非齐次方程，P(x) = 1/x，Q(x) = x²。

步骤1：计算积分因子 μ(x) = exp(∫ P(x) dx)

∫ P(x) dx = ∫ (1/x) dx = ln x（因为 x > 0，去掉绝对值），所以 μ(x) = exp(ln x) = x。

步骤2：代入通解公式

通解为：
y = exp(-∫ P(x) dx) * ( ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx + C )
代入已知量：
y = exp(-ln x) * ( ∫ [ x² * x ] dx + C ) = (1/x) * ( ∫ x³ dx + C )

步骤3：计算积分

∫ x³ dx = (1/4)x⁴ + C，因此：
y = (1/x) * ( (1/4)x⁴ + C ) = (1/4)x³ + C/x

验证：将 y = (1/4)x³ + C/x 代入原方程，左边 dy/dx + (1/x) y 应等于右边 x²。
计算 dy/dx = (3/4)x² - C/x²，
左边 = (3/4)x² - C/x² + (1/x) * ( (1/4)x³ + C/x ) = (3/4)x² - C/x² + (1/4)x² + C/x² = x²，与右边相等，验证正确。

例3：含三角函数的方程

解方程 dy/dx + y tan x = sec x（-π/2 < x < π/2）。

解：
这里 P(x) = tan x，Q(x) = sec x。

步骤1：计算积分因子 μ(x) = exp(∫ P(x) dx)

∫ tan x dx = -ln|cos x| + C（因为 tan x = sin x / cos x，积分后为 -ln|cos x|），所以 μ(x) = exp(-ln|cos x|) = 1 / |cos x| = sec x（因为 -π/2 < x < π/2，cos x > 0）。

步骤2：代入通解公式

通解为：
y = exp(-∫ P(x) dx) * ( ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx + C )
代入已知量：
y = exp(-(-ln|cos x|)) * ( ∫ [ sec x * sec x ] dx + C ) = cos x * ( ∫ sec² x dx + C )

步骤3：计算积分

∫ sec² x dx = tan x + C，因此：
y = cos x * (tan x + C) = cos x * (sin x / cos x) + C cos x = sin x + C cos x

验证：计算 dy/dx = cos x - C sin x，代入左边：
dy/dx + y tan x = (cos x - C sin x) + (sin x + C cos x) * (sin x / cos x)
= cos x - C sin x + (sin² x / cos x) + C sin x
= cos x + sin² x / cos x
= (cos² x + sin² x) / cos x
= 1 / cos x
= sec x，与右边相等，验证正确。

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六、关键注意事项

1. 积分因子的符号

积分因子是 exp(∫ P(x) dx)，注意指数中的积分是 ∫ P(x) dx，不要漏掉负号（在通解公式中，齐次解的部分是 exp(-∫ P(x) dx)，而积分因子是 exp(∫ P(x) dx)）。

2. 不定积分的计算

计算 ∫ P(x) dx 和 ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx 时，要注意积分变量的选择（都是对 x 积分），避免混淆。

3. 常数 C 的位置

通解中的 C 是任意常数，必须放在最后一步积分的外面（即 ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx + C）。

4. 初始条件的应用（求特解）

若题目给出初始条件（如 y(x₀) = y₀），可将 x=x₀、y=y₀ 代入通解，解出常数 C，得到特解。

例子：求例2中方程 dy/dx + (1/x) y = x² 满足初始条件 y(1) = 1 的特解。

解：
例2的通解是 y = (1/4)x³ + C/x。
代入 x=1，y=1：
1 = (1/4)(1)³ + C/1 ⇒ 1 = 1/4 + C ⇒ C = 3/4
因此特解为 y = (1/4)x³ + 3/(4x)。

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七、本节重点总结

1. 一阶线性微分方程的定义：标准形式 dy/dx + P(x) y = Q(x)，分齐次（Q(x)=0）和非齐次（Q(x) ≠ 0）。
2. 齐次方程的解法：分离变量法，通解 y = C exp(-∫ P(x) dx)。
3. 非齐次方程的解法：常数变易法（假设 y = C(x) exp(-∫ P(x) dx)）或直接用通解公式：
   y = exp(-∫ P(x) dx) * ( ∫ [ Q(x) exp(∫ P(x) dx) ] dx + C )
4. 关键步骤：计算积分因子 exp(∫ P(x) dx)，代入公式求解。