高等数学》（同济大学·第7版）第七章 微分方程 第三节齐次方程

同学们好！今天我们学习《高等数学》第七章第三节“齐次方程”。这是微分方程中一类重要的可转化方程，掌握它的解法对后续学习（如线性微分方程）有重要意义。我会用最通俗的语言，结合大量例子，帮你彻底掌握“齐次方程”的定义、特点和解法。

---

一、齐次方程的定义：什么是“齐次”？

1. 齐次方程的两种含义

在微积分中，“齐次”有两种常见含义，但这里我们特指一阶微分方程中的齐次方程：
若一阶微分方程可以写成以下形式：
$$\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$$
（其中 $F$ 是仅关于 $\frac{y}{x}$ 的函数），则称它为齐次微分方程。

2. 核心特点

齐次方程的右边是 $\frac{y}{x}$ 的函数，即 $F\left(\frac{y}{x}\right)$。这意味着方程中 $x$ 和 $y$ 的地位是“齐次”的（比例相同）。

例子：

• $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$（右边是 $\frac{y}{x}$，是齐次方程）。
• $\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+x^2}{xy}$（右边分子分母都是二次齐次式，化简后为 $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，也是齐次方程）。
• $\frac{dy}{dx}=x+y$（右边是 $x$ 和 $y$ 的和，不是齐次方程）。

---

二、齐次方程的解法：变量替换转化为可分离变量方程

齐次方程的核心解法是通过变量替换，将其转化为可分离变量的微分方程（我们上节课学过的方法）。具体步骤如下：

步骤1：判断是否为齐次方程

首先检查方程是否满足 $\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$ 的形式。如果是，则进入下一步；否则可能需要整理成这种形式。

步骤2：变量替换（关键！）

令 $u=\frac{y}{x}$（即 $y=ux$），则 $y$ 是 $x$ 的函数，$u$ 也是 $x$ 的函数。我们需要将原方程中的 $y$ 和 $\frac{dy}{dx}$ 用 $u$ 和 $x$ 表示。

计算 $\frac{dy}{dx}$：
由 $y=ux$，两边对 $x$ 求导（用乘积法则）：
$$\frac{dy}{dx}=u+x\cdot \frac{du}{dx}$$

步骤3：代入原方程，分离变量

将 $y=ux$ 和 $\frac{dy}{dx}=u+x\cdot \frac{du}{dx}$ 代入原方程 $\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)=F(u)$，得到：
$$u+x\cdot \frac{du}{dx}=F(u)$$

整理后，将含 $u$ 的项移到左边，含 $x$ 的项移到右边：
$$x\cdot \frac{du}{dx}=F(u)-u$$

这是一个可分离变量的微分方程！可以写成：
$$\frac{du}{F(u)-u}=\frac{dx}{x}$$

步骤4：两边积分，求通解

对分离后的方程两边积分：
$$\int \frac{du}{F(u)-u}=\int \frac{dx}{x}$$

左边积分结果记为 $G(u)+C_1$，右边积分结果为 $\ln |x|+C_2$（$C_1,C_2$ 是常数）。合并常数后得到：
$$G(u)=\ln |x|+C$$

其中 $C=C_2-C_1$ 是新的常数。

步骤5：回代原变量 $y$

由于 $u=\frac{y}{x}$，将 $u$ 替换为 $\frac{y}{x}$，得到原方程的通解：
$$G\left(\frac{y}{x}\right)=\ln |x|+C$$

---

三、典型例题：从简单到复杂

例1：最基础的齐次方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$

解：

• 步骤1：显然是齐次方程（右边是 $\frac{y}{x}$）。
• 步骤2：令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\cdot \frac{du}{dx}$。
• 步骤3：代入原方程得：
  $$u+x\cdot \frac{du}{dx}=u$$
  化简后：$x\cdot \frac{du}{dx}=0$，即 $\frac{du}{dx}=0$（当 $x\ne 0$ 时）。
• 步骤4：积分得 $u=C$（$C$ 是常数）。
• 步骤5：回代 $u=\frac{y}{x}$，得通解 $y=Cx$。

例2：含平方项的齐次方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+x^2}{xy}$

解：

• 步骤1：右边分子分母都是二次齐次式，化简为 $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，即 $F\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，是齐次方程。
• 步骤2：令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\cdot \frac{du}{dx}$。
• 步骤3：代入原方程得：
  $$u+x\cdot \frac{du}{dx}=u+\frac{1}{u}$$
  化简后：$x\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1}{u}$。
• 步骤4：分离变量并积分：
  $$\int udu=\int \frac{1}{x}dx$$
  左边积分得 $\frac{1}{2}{u}^2+C_1$，右边得 $\ln |x|+C_2$。合并常数后：
  $$\frac{1}{2}{u}^2=\ln |x|+C$$
• 步骤5：回代 $u=\frac{y}{x}$，得通解：
  $$\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\ln |x|+C$$
  整理为：
  $$y^2=2x^2(\ln |x|+C)$$

例3：需要整理成齐次形式的方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}$

解：

• 步骤1：右边分子分母都是一次齐次式，化简为 $\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}}$，即 $F\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1+u}{1-u}$（令 $u=\frac{y}{x}$），是齐次方程。
• 步骤2：令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\cdot \frac{du}{dx}$。
• 步骤3：代入原方程得：
  $$u+x\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}$$
  化简后：
  $$x\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}-u=\frac{1+u-u(1-u)}{1-u}=\frac{1+u^2}{1-u}$$
• 步骤4：分离变量并积分：
  $$\int \frac{1-u}{1+u^2}du=\int \frac{1}{x}dx$$
  左边拆分为两个积分：
  $$\int \frac{1}{1+u^2}du-\int \frac{u}{1+u^2}du=\arctan u-\frac{1}{2}\ln (1+u^2)+C_1$$
  右边积分得 $\ln |x|+C_2$。合并常数后：
  $$\arctan u-\frac{1}{2}\ln (1+u^2)=\ln |x|+C$$
• 步骤5：回代 $u=\frac{y}{x}$，得通解：
  $$\arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln \left(1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2\right)=\ln |x|+C$$

---

四、关键注意事项

1. 变量替换的正确性

• 替换 $u=\frac{y}{x}$ 时，必须确保 $x\ne 0$（若 $x=0$，原方程可能无定义或需单独讨论）。
• 计算 $\frac{dy}{dx}$ 时，要用乘积法则（$y=ux$，所以 $\frac{dy}{dx}=u+x\cdot \frac{du}{dx}$），避免漏掉 $x\cdot \frac{du}{dx}$ 项。

2. 分离变量时的分母不为零

积分前需确保分母 $F(u)-u\ne 0$（即 $F(u)\ne u$）。若 $F(u)=u$，则方程变为 $x\cdot \frac{du}{dx}=0$，此时 $u=C$（常数），回代得 $y=Cx$（如例1）。

3. 隐式解的处理

积分后得到的结果可能是隐式解（如例2中的 $y^2=2x^2(\ln |x|+C)$），无需强行解出 $y$，保持隐式形式即可。

4. 初始条件的应用（求特解）

若题目给出初始条件（如 $y(x_0)=y_0$），可将 $x=x_0$、$y=y_0$ 代入通解，解出常数 $C$，得到特解。

例子：求例1中方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$ 满足初始条件 $y(1)=2$ 的特解。

解：

• 通解为 $y=Cx$。
• 代入 $x=1$，$y=2$，得 $2=C\cdot 1$，所以 $C=2$。
• 特解为 $y=2x$。

---

五、本节重点总结

1. 齐次方程的定义：形如 $\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$ 的一阶微分方程。
2. 解法步骤：
   • 判断是否为齐次方程；
   • 变量替换 $u=\frac{y}{x}$（即 $y=ux$）；
   • 转化为可分离变量方程并积分；
   • 回代 $u=\frac{y}{x}$ 得到通解。
3. 注意事项：变量替换的正确性、分母不为零、隐式解的处理。