《高等数学》（同济大学·第7版）第九章 多元函数微分法及其应用第四节隐函数的求导公式

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同学们好！今天我们学习《高等数学》（同济·第7版）第九章第四节隐函数的求导公式。我会用最通俗的语言和具体例子，带你彻底理解这个核心概念。如果中途有疑问，随时提出，我们一步步解决！

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一、隐函数是什么？为什么需要它？

1. 显函数 vs 隐函数

• 显函数：直接写出因变量和自变量的关系，例如：
  y = f(x) 或 z = f(x, y)
• 隐函数：因变量和自变量的关系隐含在一个方程中，例如：
  F(x, y) = 0 或 F(x, y, z) = 0
  （比如圆的方程 x² + y² = 1，无法直接解出 y 的显式表达式）

2. 隐函数求导的意义

• 实际需求：物理、工程问题中函数关系常以隐式方程描述（如运动轨迹）。
• 目标：求隐函数的导数 dy/dx 或偏导数 ∂z/∂x，无需显化函数。

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二、一个方程确定的隐函数求导

1. 定理条件

若方程 F(x, y) = 0 满足：

1. F(x, y) 在点 (x₀, y₀) 邻域连续可微；
2. F(x₀, y₀) = 0；
3. ∂F/∂y(x₀, y₀) ≠ 0，
   则方程在 (x₀, y₀) 附近唯一确定可导隐函数 y = f(x)，且导数：
   dy/dx = - (F_x) / (F_y)
   （F_x, F_y 分别是 F 对 x, y 的偏导数）

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2. 分步计算示例

问题：求 x² + y² = 1 确定的隐函数 y 的导数 dy/dx。

步骤：

1. 验证条件：

   • F(x, y) = x² + y² - 1
   • F(0, 1) = 0（取点 (0,1)）
   • F_y = 2y，在 (0,1) 处 F_y = 2 ≠ 0

2. 应用公式：
   dy/dx = - (2x) / (2y) = -x/y

3. 几何验证：

   • 点 (0,1) 处 dy/dx = 0，切线水平（符合圆的性质）

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3. 含复合函数的例子

问题：求 e^(xy) = x + y 确定的隐函数 y 的导数 dy/dx。

步骤：

1. 方程两边对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）：
   d/dx [e^(xy)] = d/dx [x + y]

2. 左边用链式法则：
   e^(xy) * (y + x dy/dx)

3. 右边求导：
   1 + dy/dx

4. 整理方程：
   e^(xy)(y + x dy/dx) = 1 + dy/dx

5. 解出 dy/dx：
   dy/dx = (1 - y e^(xy)) / (x e^(xy) - 1)

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三、方程组确定的隐函数求导

1. 定理条件（二元方程组）

若方程组：
{ F(x, y, u, v) = 0
G(x, y, u, v) = 0 }
满足：

1. F, G 在点 (x₀,y₀,u₀,v₀) 邻域连续可微；
2. F(x₀,y₀,u₀,v₀) = 0, G(x₀,y₀,u₀,v₀) = 0；
3. 雅可比行列式 J = ∂(F,G)/∂(u,v) ≠ 0，
   则可确定隐函数 u=u(x,y), v=v(x,y)，且：
   ∂u/∂x = - [∂(F,G)/∂(x,v)] / J
   ∂v/∂x = - [∂(F,G)/∂(u,x)] / J

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2. 计算示例

问题：解方程组：
{ x + y + u + v = 0
x² + y² + u² + v² = 0 }
求 ∂u/∂x 和 ∂v/∂x。

步骤：

1. 计算雅可比行列式：

   • F = x + y + u + v, G = x² + y² + u² + v²
   • J = | ∂F/∂u ∂F/∂v | = | 1 1 |
     | ∂G/∂u ∂G/∂v | | 2u 2v |
     J = 2v - 2u
   • 假设 u ≠ v，则 J ≠ 0

2. 求 ∂u/∂x：

   • ∂(F,G)/∂(x,v) = | ∂F/∂x ∂F/∂v | = | 1 1 |
     | ∂G/∂x ∂G/∂v | | 2x 2v |
     = 2v - 2x
   • ∂u/∂x = - (2v - 2x) / (2v - 2u) = (x - v) / (v - u)

3. 同理求 ∂v/∂x：
   ∂v/∂x = (u - y) / (v - u)

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四、高阶隐函数求导

1. 二阶导数的求法

问题：求 x² + y² = 1 的二阶导数 d²y/dx²。

步骤：

1. 一阶导数：
   dy/dx = -x/y

2. 对一阶导数再求导：
   d²y/dx² = d/dx [-x/y] = - [y - x dy/dx] / y²

3. 代入 dy/dx：
   = - [y - x(-x/y)] / y² = - [y + x²/y] / y²

4. 利用原方程简化：
   ∵ x² + y² = 1
   ∴ d²y/dx² = -1 / y³

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五、注意事项

1. 存在性条件：

   • 单方程要求 F_y ≠ 0，否则隐函数可能不存在
   • 方程组要求雅可比行列式 J ≠ 0

2. 求导关键：

   • 每次求导时，所有因变量（如 y, z）都需视为自变量的函数

3. 常见错误：

   • 漏掉负号（公式中的 “-” 符号）
   • 忘记链式法则（如 e^(xy) 求导时遗漏 y 对 x 的依赖）

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