高等代数笔记5：线性变换

线性映射的定义与性质

线性映射的定义

数学研究的主题是空间与变换，对于代数学而言，空间指的是赋予了某种运算结构的集合，变换则是空间到空间的映射。线性代数则是研究线性空间及其上的映射。但是，研究的对象不是所有的映射，而是特殊的一类映射，这类映射和线性运算紧密联系，称为线性映射。

定义5.1 $V_1,V_2$是$K$的两个线性空间，$f:V_1\to V_2$是$V_1$到$V_2$的映射，如果满足：
$$\forall k_1,k_2\in K,\forall x_1,x_2\in V_1$$都有
$$f(k_1{x}_1+k_2{x}_2)=k_{1}f(x_1)+k_{2}f(x_2)$$则称$f$是$V_1$到$V_2$(定义在$V_1$，取值于$V_2$)的线性映射

在线性代数中，我们称这类映射为线性映射，在泛函分析中，我们称这类映射为线性算子。

定义5.2 $V$是$K$的线性空间，$V$到$V$的线性映射称为$V$上的线性变换

线性变换就是线性空间自己到自己的线性映射，是一类特殊的线性映射。当然，线性映射的例子相当多，就前面的矩阵代数而言
$$y=Ax$$就是就是$K^n$到$K^m$的线性映射，平面解析几何和空间解析几何中的伸缩、旋转都是线性映射。另外，$K$也是$K$上的线性空间，$V$到$K$的线性映射是一个函数，称为线性函数，在泛函分析中称为线性泛函。在有限维线性空间的情形下，要把握一个线性映射其实相当简单。设$V_1$是$n$维线性空间，$e_1,\cdots ,e_n$是$V_1$的一组基，$V_2$是$m$维线性空间，${\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_m$是$V_2$的一组基。对任意的$x\in V_1$，$x$可唯一表为
$$x=k_1{e}_1+\cdots +k_n{e}_n$$对任意的线性映射$f:V_1\to V_2$，就有
$$f(x)=k_{1}f(e_1)+\cdots +k_{n}f(e_n)$$也就是说，要把握$f$的象，只需要把握$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$即可。只要把握了基的象，全空间的象戳手可得，这是线性映射相对于其他映射的良好性质。对于一个映射，我们还关心映射是否是单射，又是否是满射。下面我们来给出判断线性映射是单射还是满射的条件。

线性映射的单射与线性空间的同构

定理5.1 $V_1,V_2$是$K$上的线性空间，$f:V_1\to V_2$是线性映射，则$f$是单射的充要条件是$0$的原象只能是$0$

证：
必要性是显然的，仅证充分性，如果$f^{-1}(0)=0$，则若$f(x_1)=f(x_2)$，就有$f(x_1-x_2)=0$，可以推出
$$x_1-x_2=0$$因此$f$是单射

我们注意到，线性映射是否是单射，只与$0$的原象有关系，我们定义
$$\ker (f)=\{x\in V_1:f(x)=0\}$$容易验证$\ker (f)$是$V_1$的子空间，如果$\ker (f)=\{0\}$，那么$f$是单射，否则不是单射。$\ker (f)$又称为$f$的核空间或零空间。我们知道，把握$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$就可以把握线性映射的像，因此，又可以从$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$的线性相关性和线性无关性给出判断单射的条件。

定理5.2 $V_1,V_2$是$K$上的线性空间，$f:V_1\to V_2$是线性映射，$e_1,\cdots ,e_n$是$V_1$的一组基，则$f$是单射的充分必要条件是$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$线性无关

证：
充分性，如果$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$线性无关，对任意的$x=x_1{e}_1+\cdots +x_n{e}_n$，若满足$f(x)=0$，则
$$x_{1}f(e_1)+x_{2}f(e_2)+\cdots +x_{n}f(e_n)=0$$由$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$线性无关，可以推出$x_1=x_2=\cdots =x_n=0$，$x=0$，因此，$f$是单射
必要性，如果$f$是单射，而$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$线性相关，存在不全为0的$k_1,\cdots ,k_n$，使得
$$k_{1}f(e_1)+\cdots +k_{n}f(e_n)=f(k_1{e}_1+\cdots +k_n{e}_n)=0$$令$x=k_1{e}_1+\cdots +k_n{e}_n$，$x\ne 0$，$\ker (f)\ne \{0\}$，$f$不是单射，矛盾，因此，$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$线性无关

如果线性映射$f$即是单射，又是满射，那么$f$的逆映射存在。并且，容易验证：$f^{-1}$也是线性映射。设$V_1$的一组基为$e_1,\cdots ,e_n$，由于$f$是单射，这样，就可以得出结论：$f(e_1),\cdots ,f(e_n)$线性无关，但$f$又是满射，任意 y ∈ V 2 y\in V_2