【抽象代数】环论与域论

环论与域论

群是有一个代数运算的代数系统，但我们在数学中，如高等代数中讨论的很多对象比如：数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等，都是有两个代数运算的代数系统，两个代数运算的代数系统不仅有非常重要的现实意义，而且相比于一个代数运算的系统会有一些有趣的性质。而在具有两个代数运算的系统中环和域便是很好的代表。

一、环

1.1 环和子环

具有两个运算的系统比较多，性质也各有不同，我们必须先从中抽取出“最小”的系统才能有通用性。各种数系、多项式、矩阵的加法和乘法是最具代表性的双运算系统，以它们为参考可以得到比较有用的系统。比如矩阵（线性空间）为双运算系统提供了许多丰富的可能性，相关的例子也很多。

考察上面提到的这些常见具体系统，它们的加法群都是交换群，故假设新的抽象系统的一个运算也为交换群。并且称其为加群，加群的单位元称为零元素（记作0）。加群的所有表达式都可以写为加减法，加法的“幂”可以用倍数表示。同时我们可以得到以下这些常见的变形都是成立的，后面可以直接使用。