高等代数8-1 λ-矩阵
λ − \lambda- λ−矩阵
如果一个矩阵的元素是一元多项式环 F [ λ ] \mathbb F[\lambda] F[λ]上的元素,那么这个矩阵就称为 λ − \lambda- λ−矩阵.也就是 A ( λ ) = ( a 11 ( λ ) ⋯ a 1 n ( λ ) ⋮ ⋱ ⋮ a s 1 ( λ ) ⋯ a s n ( λ ) ) . \bm A(\lambda) = \begin{pmatrix} a_{11}(\lambda) & \cdots & a_{1n}(\lambda) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{s1}(\lambda) & \cdots & a_{sn}(\lambda)\end{pmatrix}. A(λ)=⎝⎜⎛a11(λ)⋮as1(λ)⋯⋱⋯a1n(λ)⋮asn(λ)⎠⎟⎞.
λ − \lambda- λ−矩阵的许多概念定义与数字矩阵相同.其加法,数乘与矩阵乘法以及性质都相同.
我们定义 r r r为 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的秩,是指存在一个 A \bm A A的 r r r阶子式不为 0 0 0且任意 r + 1 r+1 r+1阶子式都是 0 0 0.
如果 A ( λ ) B ( λ ) = E \bm A(\lambda) \bm B(\lambda) = \bm E A(λ)B(λ)=E,我们就称 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ)为 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的逆矩阵,记为 B ( λ ) = A − 1 ( λ ) \bm B(\lambda) = \bm A^{-1}(\lambda) B(λ)=A−1(λ).我们可以证明如下定理:
定理1 一个 n × n n \times n n×n的 λ − \lambda- λ−矩阵 A \bm A A可逆的充分必要条件是 ∣ A ∣ |\bm A| ∣A∣是非零常数.
定理的必要性是平凡的.我们证明充分性.如果 ∣ A ∣ = d |\bm A| = d ∣A∣=d是非零常数,我们取 B \bm B B为 A \bm A A的伴随矩阵,那么显然它也是一个 λ − \lambda- λ−矩阵,并且满足 1 d A B = E \frac{1}{d}\bm A \bm B = \bm E d1AB=E.因此 A \bm A A是可逆的. ■ \blacksquare ■
λ − \lambda- λ−矩阵的初等变换和标准型
这里我们将看到, λ − \lambda- λ−矩阵的初等变换与数字矩阵不尽相同.我们如下定义 λ − \lambda- λ−矩阵的三种初等变换:
- 矩阵的两行(列)互换位置;
- 矩阵的某一行(列)乘以一个非零常数;
- 矩阵一行(列)的 φ ( λ ) \varphi(\lambda) φ(λ)倍加到另一行(列)上.
我们不难发现,对于某一行(列)同乘限制在数域 F \mathbb F F上而不是多项式环 F [ λ ] \mathbb F[\lambda] F[λ]上.这是因为,一个多项式并不是 F [ λ ] \mathbb F[\lambda] F[λ]上的可逆元.也就是说 F [ λ ] \mathbb F[\lambda] F[λ]并不能对除法运算封闭.如果从可逆元的角度看待,这一点与数字矩阵是统一的,因为数域 F \mathbb F F是对于除法封闭的.这样定义的上述三种变换都是可逆变换,其对应矩阵亦被称为初等矩阵.初等矩阵可逆.
对应于数字矩阵中的概念,我们也可以定义 λ − \lambda- λ−矩阵中的等价(或者称为相抵)的概念:
A \bm A A与 B \bm B B相抵,是指能够通过一系列初等变换将 A \bm A A变换为 B \bm B B.很显然相抵是一种等价关系,满足自反性,对称性和传递性.我们很容易看出 A \bm A A与 B \bm B B相抵的充分必要条件是存在一系列初等矩阵 P 1 , ⋯ , P m \bm P_1, \cdots, \bm P_m P1,⋯,Pm和 Q 1 , ⋯ , Q n \bm Q_1, \cdots, \bm Q_n Q1,⋯,Qn使得 A = P 1 ⋯ P m B Q 1 ⋯ Q n . \bm A = \bm P_1 \cdots \bm P_m \bm B \bm Q_1 \cdots \bm Q_n. A=P1⋯PmBQ1⋯Qn.
下面我们证明一个定理:任意一个 λ − \lambda- λ−矩阵可以经过初等变换化为某种对角形.为此我们先给出下面的引理:
引理 设 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)左上角的元素 a 11 ( λ ) ≠ 0 a_{11}(\lambda) \ne 0 a11(λ)=0,并且 A \bm A A中至少有一个元素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)等价的矩阵 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ)使得它的左上角元素 b 11 ( λ ) b_{11}(\lambda) b11(λ)也不为 0 0 0,并且次数比 a 11 ( λ ) a_{11}(\lambda) a11(λ)要低.
我们根据这个不能被 a 11 ( λ ) a_{11}(\lambda) a11(λ)整除的元素的位置进行讨论.如果它位于第一列 a i 1 ( λ ) a_{i1}(\lambda) ai1(λ),那么由多项式的带余除法,得 a 11 ( λ ) = q ( λ ) a i 1 ( λ ) + r ( λ ) a_{11}(\lambda) = q(\lambda)a_{i1}(\lambda) + r(\lambda) a11(λ)=q(λ)ai1(λ)+r(λ)其中 ∂ r ( λ ) < ∂ a 11 ( λ ) \partial r(\lambda) <\partial a_{11}(\lambda) ∂r(λ)<∂a11(λ)并且不为 0 0 0.那么做初等行变换 P ( i , 1 ( − q ) ) P(i, 1(-q)) P(i,1(−q))和 P ( 1 , i ) P(1, i) P(1,i)就能让 a 11 a_{11} a11变为次数更低的 r ( λ ) r(\lambda) r(λ).但是上述过程不会一直进行,我们会在有限步停下,最终 b 11 ( λ ) b_{11}(\lambda) b11(λ)能够整除矩阵中的所有元素.
如果这个元素在第一列,那么同理.
如果这个元素既不在第一行也不在第一列,说明第一行第一列的元素都能够被 b 11 ( λ ) b_{11}(\lambda) b11(λ)整除,不妨设这个不能被整除的元素是 a i j ( λ ) a_{ij}(\lambda) aij(λ),设 a i 1 ( λ ) = φ ( λ ) a 11 ( λ ) a_{i1}(\lambda) = \varphi(\lambda)a_{11}(\lambda) ai1(λ)=φ(λ)a11(λ),做初等行变换 P ( i , 1 ( − φ ) ) P(i, 1(-\varphi)) P(i,1(−φ))以及 P ( 1 , i ( 1 ) ) P(1, i(1)) P(1,i(1)),就能够把 A \bm A A化成 A 1 \bm A_1 A1,其中 A 1 = ( a 11 ( λ ) ⋯ a i j ( λ ) + ( 1 − φ ( λ ) ) a 1 j ( λ ) ⋯ ⋮ ⋮ 0 ⋯ a i j ( λ ) − a 1 j ( λ ) φ ( λ ) ⋯ ⋮ ⋮ ) \bm A_1 = \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda) & \cdots & a_{ij}(\lambda)+(1 - \varphi(\lambda))a_{1j}(\lambda)& \cdots \\ \vdots & & \vdots & \\0 & \cdots & a_{ij}(\lambda) - a_{1j}(\lambda)\varphi(\lambda) & \cdots \\ \vdots & & \vdots \end{pmatrix} A1=⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11(λ)⋮0⋮⋯⋯aij(λ)+(1−φ(λ))a1j(λ)⋮aij(λ)−a1j(λ)φ(λ)⋮⋯⋯⎠⎟⎟⎟⎟⎞这样第一行的元素 a i j ( λ ) + ( 1 − φ ( λ ) ) a 1 j ( λ ) a_{ij}(\lambda)+(1 - \varphi(\lambda))a_{1j}(\lambda) aij(λ)+(1−φ(λ))a1j(λ)就是一个不能够被 a 11 ( λ ) a_{11}(\lambda) a11(λ)整除的元素,问题归结为第一种情形. ■ \blacksquare ■
因此,我们证明了任意一个矩阵总能通过上述过程,使得左上角元素非零并且能够整除矩阵中所有的元素.
由此我们就很容易能够推出我们的如下定理:
定理2 任意一个非零的 s × n s\times n s×n的 λ − \lambda- λ−矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)都相抵于下列形式的矩阵: ( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) ⋱ d r ( λ ) O ) \begin{pmatrix}d_1(\lambda) \\ & d_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & d_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛d1(λ)d2(λ)⋱dr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞其中 r ≥ 1 , d i ( λ ) r \geq 1,d_i(\lambda) r≥1,di(λ)是首一多项式,并且 d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) d_i(\lambda) | d_{i+1}(\lambda) di(λ)∣di+1(λ).
只需要不断使用引理对其左上角进行降次直至整除所有元素,然后清零第一行第一列,再对剩下的如法炮制即可. ■ \blacksquare ■
§ 8.3 §8.3 §8.3 不变因子
我们现在来证明,一个 λ − \lambda- λ−矩阵的标准型是唯一的.为此我们需要引入不变因子的概念,这是一个在初等变换过程中的不变量.
定义5 设 λ − \lambda- λ−矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的秩为 r r r,对于 ∀ k ∈ [ 1 , r ] , k ∈ N , A ( λ ) \forall k \in [1, r],k\in \mathbb N,\bm A(\lambda) ∀k∈[1,r],k∈N,A(λ)中必然有非零的 k k k级子式.我们称 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)中全部 k k k级子式的首一最大公因式 D k ( λ ) D_k(\lambda) Dk(λ)为 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的 k k k级行列式因子.
由定义可知,如果 λ − \lambda- λ−矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的秩为 r r r,那么它有 r r r个行列式因子.行列式因子的意义在于它是初等变换过程中的不变量.
定理3 等价的 λ − \lambda- λ−矩阵拥有相同的秩和行列式因子.
我们只需要对于一次初等变换之后的情形证明秩与行列式因子不变.我们设 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)经过一次初等变换变成 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ),两者的 k k k级行列式因子分别为 f ( λ ) , g ( λ ) f(\lambda),g(\lambda) f(λ),g(λ).
对于第一种初等变换, k k k级子式要么不变,要么反号,因此行列式因子不变.
对于第二种初等变换, k k k级子式要么不变,要么变为原来的 c c c倍,因此行列式因子不变.
对于第三种初等变换 P ( i , j ( φ ) ) P(i, j(\varphi)) P(i,j(φ)),那些只包含 i i i行(列)以及同时包含和 i i i行(列) j j j行(列)的 k k k级子式不变,对于那些只包含了 j j j行(列)的 k k k级子式,我们发现它是一个 k k k级子式与另一个 k k k级子式的 φ ( λ ) \varphi(\lambda) φ(λ)倍的和.从而有 f ( λ ) ∣ g ( λ ) , f(\lambda)|g(\lambda), f(λ)∣g(λ),再通过逆变换,就有 g ( λ ) ∣ f ( λ ) , g(\lambda)|f(\lambda), g(λ)∣f(λ),从而 f ( λ ) = g ( λ ) f(\lambda) = g(\lambda) f(λ)=g(λ).因此行列式因子仍然不变.
当 A \bm A A的全部 k k k级子式都为 0 0 0的时候, B \bm B B的全部 k k k级子式也都为 0 0 0.反之亦然.因此 A , B \bm A,\bm B A,B必然拥有相同的行列式因子和秩. ■ \blacksquare ■
下面我们来看看标准型的行列式因子.我们设标准型为 ( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) ⋱ d r ( λ ) O ) \begin{pmatrix}d_1(\lambda) \\ & d_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & d_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛d1(λ)d2(λ)⋱dr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞其中 r ≥ 1 , d i ( λ ) r \geq 1,d_i(\lambda) r≥1,di(λ)是首一多项式,并且 d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) d_i(\lambda) | d_{i+1}(\lambda) di(λ)∣di+1(λ).
考虑它的 k k k级子式,如果它不是主子式,那么必然有一行(列)的元素全部为 0 0 0,如果它不是从前 r r r行(列)选择,那么必然也就有一行(列)的元素全部为 0 0 0.由于 0 0 0能够被任何多项式整除,我们只需要考虑主子式 ( i 1 , ⋯ , i k i 1 , ⋯ , i k ) \begin{pmatrix} i_1, \cdots, i_k \\i_1, \cdots, i_k \end{pmatrix} (i1,⋯,iki1,⋯,ik)即可.这个 k k k级子式等于 d i 1 ( λ ) d i 2 ( λ ) ⋯ d i k ( λ ) . d_{i_1}(\lambda) d_{i_2}(\lambda) \cdots d_{i_k}(\lambda). di1(λ)di2(λ)⋯dik(λ).那么很显然,矩阵的 k k k级行列式因子就是 D k = ∏ i = 1 k d i . D_k = \prod_{i = 1}^k d_{i}. Dk=i=1∏kdi.
由此我们可以推出如下定理:
定理4 λ − \lambda- λ−矩阵的标准形是唯一的.
定理的证明也非常简单,只需要使用递推式 d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) , d k ( λ ) = D k ( λ ) D k − 1 ( λ ) d_1(\lambda) = D_1(\lambda), d_k(\lambda) = \frac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)} d1(λ)=D1(λ),dk(λ)=Dk−1(λ)Dk(λ)即可证明矩阵的标准形对角线元素个数由它的秩决定,对角线元素由其行列式因子唯一决定. ■ \blacksquare ■
我们定义不变因子的概念:
定义6 标准形上主对角线非零元素 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)称为 λ − \lambda- λ−矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的不变因子.
定理5 两个 λ − \lambda- λ−矩阵等价的充分必要条件是他们具有相同的行列式因子,或者具有相同的不变因子.
容易看出,行列式因子之间有关系 D k ( λ ) ∣ D k + 1 ( λ ) . D_k(\lambda) | D_{k+1}(\lambda). Dk(λ)∣Dk+1(λ).因此在计算行列式因子的时候,通常先计算最高阶的行列式因子.
作为一个例子,我们考察一下可逆矩阵的标准形.由前面的证明我们知道,如果 n n n级矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)是可逆矩阵,当且仅当 ∣ A ( λ ) ∣ |\bm A(\lambda)| ∣A(λ)∣为一非零常数.也就是说 D n ( λ ) = 1. D_n(\lambda) = 1. Dn(λ)=1.由此推知各个不变因子都是 1 1 1.这样也就说明 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)相抵于单位矩阵.反过来,与单位矩阵等价的矩阵必定可逆,因为它的行列式非零.这也就是说,矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵相抵.由相抵的性质,我们就可以推出
定理6 矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积.
由此,我们得出矩阵相抵的另一个条件:
推论 两个 s × n s\times n s×n矩阵 A ( λ ) , B ( λ ) \bm A(\lambda), \bm B(\lambda) A(λ),B(λ)相抵的充分必要条件是有一个 n × n n\times n n×n的可逆矩阵 P ( λ ) \bm P(\lambda) P(λ)和一个 s × s s\times s s×s的可逆矩阵 Q ( λ ) \bm Q(\lambda) Q(λ)使得 B ( λ ) = P ( λ ) A ( λ ) Q ( λ ) . \bm B(\lambda) = \bm P(\lambda) \bm A(\lambda) \bm Q(\lambda). B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ).
λ − \lambda- λ−矩阵的初等因子
定义7 设秩为 r r r的 λ − \lambda- λ−矩阵 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的不变因子为 d 1 ( λ ) , ⋯ , d r ( λ ) , d_1(\lambda), \cdots, d_r(\lambda), d1(λ),⋯,dr(λ),把 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)分解为首一素方幂因子的乘积 d i ( λ ) = p 1 ( λ ) k i 1 p 2 ( λ ) k i 2 ⋯ p s ( λ ) k i s d_i(\lambda) = p_1(\lambda)^{k_{i1}} p_2(\lambda)^{k_{i2}} \cdots p_{s}(\lambda)^{k_{is}} di(λ)=p1(λ)ki1p2(λ)ki2⋯ps(λ)kis把 p i ( λ ) k i j p_i(\lambda)^{k_{ij}} pi(λ)kij中那些不为 1 1 1的多项式,相同的按照出现次数计数,称为 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的初等因子.
例1如果一个 r = 12 r = 12 r=12的复 λ − \lambda- λ−矩阵的不变因子是 1 , 1 , ⋯ , 1 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) ( λ 2 + 1 ) 2 1, 1,\cdots, 1, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2(\lambda + 1), (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)(\lambda^2 + 1)^2 1,1,⋯,1,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2那么按照初等因子的定义,其初等因子是 ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ + 1 ) , ( λ + 1 ) , ( λ − i ) 2 , ( λ + i ) 2 (\lambda - 1)^2,(\lambda - 1)^2,(\lambda - 1)^2, (\lambda +1), (\lambda + 1), (\lambda - \text i)^2, (\lambda + \text i)^2 (λ−1)2,(λ−1)2,(λ−1)2,(λ+1),(λ+1),(λ−i)2,(λ+i)2.
我们不难看出,如果一个 r = 4 r = 4 r=4的复矩阵的不变因子是 1 , ( λ − 1 ) 2 , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) , ( λ − 1 ) 2 ( λ + 1 ) ( λ 2 + 1 ) 2 1, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2(\lambda + 1), (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)(\lambda^2 + 1)^2 1,(λ−1)2,(λ−1)2(λ+1),(λ−1)2(λ+1)(λ2+1)2那么它的初等因子和上述矩阵相同.因此,相同的初等因子可以对应不同的不变因子.但是,如果同时给定矩阵的秩和初等因子,那么此时矩阵的不变因子唯一确定.
这是因为,由于不变因子满足下列条件: d i ( λ ) ∣ d i + 1 ( λ ) d_i(\lambda) | d_{i+1}(\lambda) di(λ)∣di+1(λ) 因此 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)中所含的 p j ( λ ) k i j p_j(\lambda)^{k_{ij}} pj(λ)kij必定整除 d i + 1 ( λ ) d_{i+1}(\lambda) di+1(λ)中所含的 p j ( λ ) k ( i + 1 ) j . p_j(\lambda)^{k_{(i+1)j}}. pj(λ)k(i+1)j.这样, d r ( λ ) d_r(\lambda) dr(λ)就是 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)初等因子当中极大素方幂因子的乘积, d r − 1 ( λ ) d_{r-1}(\lambda) dr−1(λ)就是去掉 d r ( λ ) d_r(\lambda) dr(λ)之后剩下的极大素方幂因子的乘积.如果某一步之后,剩下的初等因子全部都是 1 1 1, 那么剩余的不变因子自然就都是 1 1 1.
定理5 两个 s × n s\times n s×n的 λ − \lambda- λ−矩阵等价的充分必要条件是两者具有相同的秩和初等因子.
初等因子的价值有两方面:
- 有时候用初等因子计算不变因子更为方便.
- 利用初等因子可以把矩阵的标准形进一步化简.
引理1 如果 f 1 ( λ ) f 2 ( λ ) f_1(\lambda)f_2(\lambda) f1(λ)f2(λ)与 g 1 ( λ ) g 2 ( λ ) g_1(\lambda)g_2(\lambda) g1(λ)g2(λ)互素,那么 ( f 1 ( λ ) g 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) g 2 ( λ ) ) = ( f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) ) ⋅ ( g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) ) . (f_1(\lambda)g_1(\lambda), f_2(\lambda)g_2(\lambda)) = (f_1(\lambda), f_2(\lambda))\cdot (g_1(\lambda), g_2(\lambda)) . (f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=(f1(λ),f2(λ))⋅(g1(λ),g2(λ)). 我们记 ( f 1 ( λ ) g 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) g 2 ( λ ) ) = d ( λ ) , ( f 1 ( λ ) , f 2 ( λ ) ) = d 1 ( λ ) , ( g 1 ( λ ) , g 2 ( λ ) ) = d 2 ( λ ) , (f_1(\lambda)g_1(\lambda), f_2(\lambda)g_2(\lambda)) = d(\lambda), (f_1(\lambda), f_2(\lambda)) = d_1(\lambda), (g_1(\lambda), g_2(\lambda)) = d_2(\lambda), (f1(λ)g1(λ),f2(λ)g2(λ))=d(λ),(f1(λ),f2(λ))=d1(λ),(g1(λ),g2(λ))=d2(λ),我们要证明 d = d 1 d 2 . d = d_1 d_2. d=d1d2.
很明显, ( d 1 , d 2 ) = 1 (d_1, d_2) = 1 (d1,d2)=1.并且 d 1 ∣ d , d 2 ∣ d d_1 | d, d_2 | d d1∣d,d2∣d.所以很容易证明 d 1 d 2 ∣ d d_1d_2|d d1d2∣d.
下面我们证明 d ∣ d 1 d 2 . d|d_1d_2. d∣d1d2.这也是很显然的.我们不妨反证 d ′ ∣ d , d ′ ∤ d 1 d 2 , d^{\prime} | d,d^{\prime} \nmid d_1d_2, d′∣d,d′∤d1d2,那么 d ′ d^\prime d′必定是 ( f 1 , g 2 ) (f_1, g_2) (f1,g2)或者 ( f 2 , g 1 ) (f_2, g_1) (f2,g1)的因子,只能是 1 1 1,矛盾.
引理2 如果 f 1 ( λ ) f 2 ( λ ) f_1(\lambda)f_2(\lambda) f1(λ)f2(λ)与 g 1 ( λ ) g 2 ( λ ) g_1(\lambda)g_2(\lambda) g1(λ)g2(λ)互素,并且 A = ( f 1 ( λ ) g 1 ( λ ) f 2 ( λ ) g 2 ( λ ) ) \bm A = \begin{pmatrix} f_1(\lambda)g_1(\lambda) & \\ & f_2(\lambda)g_2(\lambda) \end{pmatrix} A=(f1(λ)g1(λ)f2(λ)g2(λ)) B = ( f 2 ( λ ) g 1 ( λ ) f 1 ( λ ) g 2 ( λ ) ) \bm B = \begin{pmatrix} f_2(\lambda)g_1(\lambda) & \\ & f_1(\lambda)g_2(\lambda) \end{pmatrix} B=(f2(λ)g1(λ)f1(λ)g2(λ))那么 A \bm A A与 B \bm B B等价.
证明是显然的.二者的一阶行列式因子由引理 1 1 1可知相同,二阶行列式因子显然相同.
定理7 如果 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)相抵于对角矩阵 B ( λ ) = ( b 1 ( λ ) b 2 ( λ ) ⋱ b r ( λ ) O ) \bm B(\lambda) = \begin{pmatrix}b_1(\lambda) \\ & b_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & b_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix} B(λ)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛b1(λ)b2(λ)⋱br(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞那么把每个非零的对角元分解为首一的素方幂因子乘积,得到的全部不为 1 1 1的多项式,相同的按照出现次数计数,就得到了 A ( λ ) \bm A(\lambda) A(λ)的全部初等因子集合.
我们将每个非零元素分解为素方幂乘积,得到 b i ( λ ) = p 1 ( λ ) k i 1 p 2 ( λ ) k i 2 ⋯ p s ( λ ) k i s b_i(\lambda) = p_1(\lambda)^{k_{i1}} p_2(\lambda)^{k_{i2}} \cdots p_{s}(\lambda)^{k_{is}} bi(λ)=p1(λ)ki1p2(λ)ki2⋯ps(λ)kis其中 p i ( λ ) p_i(\lambda) pi(λ)是所有可能的素因子.我们引进记号 c i ( λ ) = p 2 ( λ ) k i 2 ⋯ p s ( λ ) k i s c_i(\lambda) = p_2(\lambda)^{k_{i2}} \cdots p_{s}(\lambda)^{k_{is}} ci(λ)=p2(λ)ki2⋯ps(λ)kis这样我们就有 B ( λ ) = ( p 1 ( λ ) k 11 c 1 ( λ ) p 1 ( λ ) k 21 c 2 ( λ ) ⋱ p 1 ( λ ) k r 1 c r ( λ ) O ) \bm B(\lambda) = \begin{pmatrix}p_1(\lambda)^{k_{11}}c_1(\lambda) \\ & p_1(\lambda)^{k_{21}}c_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & p_1(\lambda)^{k_{r1}}c_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix} B(λ)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛p1(λ)k11c1(λ)p1(λ)k21c2(λ)⋱p1(λ)kr1cr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞如果说 k 11 , k 21 , ⋯ , k r 1 k_{11}, k_{21}, \cdots, k_{r1} k11,k21,⋯,kr1不是升序,不妨设 k 21 < k 12 k_{21} < k_{12} k21<k12,那么由引理 2 2 2,我们可以对素因子进行调换,从而 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ)与 B 1 ( λ ) = ( p 1 ( λ ) k 21 c 1 ( λ ) p 1 ( λ ) k 11 c 2 ( λ ) ⋱ p 1 ( λ ) k r 1 c r ( λ ) O ) \bm B_1(\lambda) = \begin{pmatrix}p_1(\lambda)^{k_{21}}c_1(\lambda) \\ & p_1(\lambda)^{k_{11}}c_2(\lambda) \\ & & \ddots \\ & & & p_1(\lambda)^{k_{r1}}c_r(\lambda) \\ & & & & & \bm O \end{pmatrix} B1(λ)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛p1(λ)k21c1(λ)p1(λ)k11c2(λ)⋱p1(λ)kr1cr(λ)O⎠⎟⎟⎟⎟⎞相抵.同时,这种操作保持了分解得到的素方幂因子不变.所以我们对其他素方幂因子同样讨论,最终得到的 B ( λ ) \bm B(\lambda) B(λ)就满足所有的幂次都是升序,此时就变为标准形,从而定理成立.