线性代数笔记5--矩阵转置置换与向量空间

1. 置换矩阵

考虑主元需要交换的情况，即需要行变换的情况。

式子变为$PA=LU$。

考虑$3\times 3$的所有置换矩阵

• 两行互换
  [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} ​010​100​001​ ​ ​001​010​100​ ​ ​100​001​010​ ​
• 三行互换

[ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ] [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} ​010​001​100​ ​ ​001​100​010​ ​

• 单位矩阵
  [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} ​100​010​001​ ​

置换矩阵性质: $A^{-1}=A^{\top }$
对于$n\times n$矩阵，共有$n!$个置换矩阵，且形成了一个矩阵群；

1.1 对称矩阵

满足$A^{\top }=A$的矩阵。

• $R{R}^{\top }$总是对称矩阵

$$(R{R}^{\top }{)}^{\top }=R{R}^{\top }$$

2. 向量空间

满足对向量运算封闭的区域。
即对原向量乘或者线性组合都不超过该区域。

$R^2:$二维实数域
$R^n$: $n$维实数域

• 向量子空间

当然原点是向量的子空间。
对于二维向量空间，是过原点的直线。
对于三维向量空间，是过原点的面。

• 矩阵列空间

A = [ 1 3 2 5 6 7 ] C 1 = [ 1 2 6 ] C 2 = [ 3 5 7 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}\\ C_1= \begin{bmatrix} 1 \\2\\6 \end{bmatrix}\\ C_2= \begin{bmatrix} 3 \\5\\7 \end{bmatrix} A= ​126​357​ ​C1​= ​126​ ​C2​= ​357​ ​

矩阵空间
$$C_{(A)}=v{C}_1+w{C}_2$$