高等代数(四)-矩阵03：矩阵乘积的行列式与秩

$\S 3$ 矩阵乘积的行列式与秩
在这一节我们来看一下矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秋的关系.
关于乘积的行列式有
定理 1 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是数域 $P$ 上的两个
$n\times n$ 矩阵,那么
$$|\dot{AB}|=|A||B|\text{. }$$
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
证明 这是第二章 88 中已经证明了的结论.
用数学归纳法, 定理 1 不难推广到多个因子的情形, 即有
推论 1 设
${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\cdots ,{\mathbf{A}}_m$
都是数域 $P$ 上的 $n\times n$ 矩阵,于是
∣ A 1 A 2 ⋯ A ˙ m ∣ = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A ˙ m ∣ ⋅ I \left|\boldsymbol{A}_{1} \boldsymbol{A}_{2} \cdots \dot{A}_{m}\right|=\left|\boldsymbol{A}_{1}\right|\left|\boldsymbol{A}_{2}\right| \cdots\left|\dot{A}_{m}\right| \cdot \mathbf{I} ​A1​A2​⋯A˙m​ ​=∣A1​∣∣A2​∣⋯ ​A˙m​ ​⋅I
定义 6 数域 $P$ 上的 $n\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 称为非退化的,
如果 $|\mathbf{A}|\ne 0$; 否则称为退化的.
显然, 一 $n\times n$ 矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于 $n$.
从定理 1 ,立刻推出
推论 2 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是数域 $P$ 上 $n\times n$
矩阵, 矩阵