高等代数复习：线性空间
文章目录
- 线性空间
-
- 定义和性质
- 线性相关性与秩
- 基与维数
- 矩阵的秩
- 同构
- 坐标
- 子空间
-
- 子空间的定义和性质
- 子空间的和与交
- 直和
- 陪集和商空间
- 解线性方程组
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
线性空间
定义和性质
定义：（线性空间）
设集合 V V V 和数域 K \mathbb{K} K，在 V V V 上
定义加法 + : V × V → V , ( α , β ) ↦ α + β +:V\times V\to V,(\alpha,\beta)\mapsto \alpha+\beta +:V×V→V,(α,β)↦α+β；
定义数乘 ⋅ : V × V → V , ( k , α ) ↦ k ⋅ α \cdot:V\times V\to V,(k,\alpha)\mapsto k\cdot\alpha ⋅:V×V→V,(k,α)↦k⋅α
上述加法和数乘满足以下性质
- 加法交换律
- 加法结合律
- 加法单位元
- 加法逆元
- 数乘单位元
- 数乘结合律
- 分配律1： k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ
- 分配律2： ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα
则称 V V V 是数域 K \mathbb{K} K 上的线性空间
注：若无注明，全篇均默认 V V V 是数域 K \mathbb{K} K 上的线性空间
性质
- 加法单位元是唯一的
- 加法逆元是唯一的
- 加法消去律成立
- 0 ⋅ α = 0 0\cdot\alpha=0 0⋅α=0
- k ⋅ 0 = 0 k\cdot 0=0 k⋅0=0
- ( − 1 ) α = − α (-1)\alpha=-\alpha (−1)α=−α
- 若 k ⋅ α = 0 k\cdot\alpha=0 k⋅α=0，则 α = 0 \alpha =0 α=0或 k = 0 k=0 k=0
线性相关性与秩
线性组合，线性表出，线性相关，线性无关的定义略；线性空间 V V V 中，向量的集合称为向量族，向量的有限集合称向量组
定义：（极大无关组）
设向量族 S S S ，若 S S S 中存在一组向量 { α 1 , … , α r } \{\alpha_1,\dots,\alpha_r\} {α1,…,αr} 满足
- α 1 , … , α r \alpha_1,\dots,\alpha_r α1,…,αr 线性无关
- S S S 中任一向量均可用 α 1 , … , α r \alpha_1,\dots,\alpha_r α1,…,αr 线性表示
则称 { α 1 , … , α r } \{\alpha_1,\dots,\alpha_r\} {α1,…,αr}是向量族 S S S 的极大（线性）无关组
存在性与唯一性
设 S S S 是一向量组且至少包含一个非零向量，则 S S S 的极大无关组一定存在；一般来说，向量族的极大无关组不唯一
定理：（秩的概念）：
设 A A A 与 B B B 都是向量族 S S S 的极大线性无关组，则 A , B A,B A,B 所含的向量个数相等，称为 S S S 的秩，记为 r ( S ) r(S) r(S)
证明思路：
只需证明如下的两个引理
设向量组 A , B A,B A,B，且 A A A 中每个向量可由 B B B 线性表出
引理1：若 A A A 线性无关，则 r ( A ) ≤ r ( B ) r(A)\leq r(B) r(A)≤r(B)
引理2：若 A , B A,B A,B 均线性无关，且 B B B 也可被 A A A 线性表出，则 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)
引理1的证明:
反证法，归纳地证明，在“ A A A 中每个向量可由 B B B 线性表出”意义下， B B B 中的 β i \beta_i βi 可被替换为 α i \alpha_i αi，由 r > s r>s r>s 推出 A A A 是线性相关的
关于秩的更多结论：
- 两个向量组等价（即可相互线性表出）当且仅当它们有相同的秩，且一个可以被另一个线性表出
- 若向量组 α \alpha α 可被向量组 β \beta β 线性表出，则 r ( α ) ≤ r ( β ) r(\alpha)\leq r(\beta) r(α)≤r(β)
基与维数
定义：（基与维数）
设线性空间 V V V ，若 V V V 中存在线性无关的向量 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 使得 V V V 中任一向量均可由这组向量线性表出，则称 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 是 V V V 的一组基，称 V V V 具有维数 n n n ，记为 d i m K V = n dim_{\mathbb{K}}V=n dimKV=n，若不存在有限个向量组成 V V V 的一组基，则称 V V V 是无限维线性空间
命题：向量组成为基的条件
设 n n n 维向量空间 V V V， e 1 , … , e n e_1,\dots,e_n e1,…,en 是 V V V 中 n n n 个向量，若其适合下列条件之一，则 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 是 V V V 的一组基
- e 1 , … , e n e_1,\dots,e_n e1,…,en 线性无关
- V V V 中任一向量均可由 e 1 , … , e n e_1,\dots,e_n e1,…,en 线性表出
注：这也可以作为子向量组成为原向量组极大无关组的条件
基扩张定理
设 n n n 维线性空间 V V V， v 1 , v 2 , … , v m v_1,v_2,\dots,v_m v1,v2,…,vm 是 V V V 中 m ( m < n ) m(m
证明思路
{ e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 中必然能找到一个 e i e_i ei，加在 { v 1 , v 2 , … , v m } \{v_1,v_2,\dots,v_m\} {v1,v2,…,vm}中仍线性无关；在剩下的向量组中重复这个“找”的过程，直到加到 n n n 为止
例子
- V 1 = { A ∈ M n ( C ) ∣ A = A ‾ ′ } V_1=\{A\in M_n(\mathbb{C})|A=\overline{A}'\} V1={A∈Mn(C)∣A=A′} 在矩阵加法和实数关于矩阵的数乘下成为 R \mathbb{R} R 上的线性空间，一组基为：
{ E i i , E i j + E j i ( i ≠ j ) , i E i j − i E j i ( i ≠ j ) } \{E_{ii},E_{ij}+E_{ji}(i\neq j),iE_{ij}-iE_{ji}(i\neq j)\} {Eii,Eij+Eji(i=j),iEij−iEji(i=j)} - V 2 = { A ∈ M n ( C ) ∣ A = − A ‾ ′ } V_2=\{A\in M_n(\mathbb{C})|A=-\overline{A}'\} V2={A∈Mn(C)∣A=−A′} 在矩阵加法和实数关于矩阵的数乘下成为 R \mathbb{R} R 上的线性空间，一组基为：
{ i E i i , E i j − E j i ( i ≠ j ) , i E i j + i E j i ( i ≠ j ) } \{iE_{ii},E_{ij}-E_{ji}(i\neq j),iE_{ij}+iE_{ji}(i\neq j)\} {iEii,Eij−Eji(i=j),iEij+iEji(i=j)} - K \mathbb{K} K 上 n n n 阶上三角矩阵全体，一组基： { E i j ( i ≤ j ) } \{E_{ij}(i\leq j)\} {Eij(i≤j)}
- K \mathbb{K} K 上 n n n 阶对称矩阵全体，一组基： { E i i , E i j + E j i ( i < j ) } \{E_{ii},E_{ij}+E_{ji}(i
- K \mathbb{K} K 上 n n n 阶反对称矩阵全体，一组基： { E i j − E j i ( i < j ) } \{E_{ij}-E_{ji}(i
矩阵的秩
定义
设 m × n m\times n m×n 阶矩阵 A A A，则 A A A 的 m m m 个行向量的秩称为行秩， n n n个列向量的秩称为列秩
定理
初等变换不改变矩阵的行秩和列秩
推论
任意矩阵的行秩等于列秩
证明思路：相抵标准型
命题：
对任意秩为 r r r 的 m × n m\times n m×n 矩阵 A A A ，总存在 m m m 阶非异阵 P P P， n n n 阶非异阵 Q Q Q，使得 P A Q = ( I r O O O ) PAQ = \begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix} PAQ=(IrOOO)
推论
- n n n 阶方阵非奇异当且仅当 A A A 满秩
- 两个同尺寸的矩阵相抵当且仅当秩相同
- 设 m × n m\times n m×n 矩阵 A A A， 则 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r 当且仅当存在一个 r r r 阶子式不等于零，且 A A A 中任意 r + 1 r+1 r+1 阶子式（若存在）都等于零
常见计算问题的解法
- 求矩阵的秩：用初等变换将矩阵化为阶梯型，阶梯点个数即为秩
- 求向量组的秩：将向量组拼成一个矩阵，矩阵秩即为向量组的秩
- 判定向量组的线性相关性：秩等于向量个数则为线性无关组，否则线性相关
- 求向量组的极大无关组：将列向量组拼成一个矩阵，用初等行变换将矩阵化为阶梯型，求其秩 r r r ，则选出秩为 r r r 的列向量即为所求
- 判断 β \beta β 是否能被列向量组线性表示：若 β \beta β 的加入不改变列向量组拼成矩阵的秩，则可被线性表出，否则不能。
为了思考方便，需要熟悉以下的等价形式：
命题：等价形式
设向量组 β = { β 1 , … , β n } , α = { α 1 , … , α m } \beta =\{\beta_1,\dots,\beta_n\},\alpha=\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\} β={β1,…,βn},α={α1,…,αm}，记 A = ( a i j ) n × m A=(a_{ij})_{n\times m} A=(aij)n×m，考虑形式（1）
{ β 1 = a 11 α 1 + a 12 α 2 + ⋯ + a 1 m α m β 2 = a 21 α 1 + a 22 α 2 + ⋯ + a 2 m α m ⋮ β n = a n 1 α 1 + a n 2 α 2 + ⋯ + a n m α m \begin{cases} \beta_1=a_{11}\alpha_1+a_{12}\alpha_2+\cdots+a_{1m}\alpha_m\\ \beta_2=a_{21}\alpha_1+a_{22}\alpha_2+\cdots+a_{2m}\alpha_m\\ \vdots\\ \beta_n=a_{n1}\alpha_1+a_{n2}\alpha_2+\cdots+a_{nm}\alpha_m\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧β1=a11α1+a12α2+⋯+a1mαmβ2=a21α1+a22α2+⋯+a2mαm⋮βn=an1α1+an2α2+⋯+anmαm该方程组等价于形式（2）
若 β , α \beta,\alpha β,α 均为行向量组，则有
( β 1 β 2 ⋮ β n ) = A ( α 1 α 2 ⋮ α m ) \begin{pmatrix} \beta_1\\\beta_2\\\vdots\\\beta_n \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} \alpha_1\\\alpha_2\\\vdots\\\alpha_m \end{pmatrix} β1β2⋮βn =A α1α2⋮αm
若 β , α \beta,\alpha β,α 均为列向量组，则有
( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α m ) A ′ \begin{pmatrix} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m \end{pmatrix}A' (β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αm)A′
仍记 α , β \alpha,\beta α,β 分别为向量组 α , β \alpha,\beta α,β 拼成的矩阵，则
方程组等价于形式（3）
若 β , α \beta,\alpha β,α 均为行向量组，则有
β = A α \beta =A\alpha β=Aα
若 β , α \beta,\alpha β,α 均为列向量组，则有
β = α A ′ \beta =\alpha A' β=αA′
记 A i A_i Ai 为 A A A 的行向量，有等价形式（4）
若 β \beta β 为行向量组，则有
( β 1 β 2 ⋮ β n ) = ( A 1 A 2 ⋮ A n ) α \begin{pmatrix} \beta_1\\\beta_2\\\vdots\\\beta_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A_1\\A_2\\\vdots\\A_n \end{pmatrix}\alpha β1β2⋮βn = A1A2⋮An α
若 β \beta β 为列向量组，则有
( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) = α ( A 1 ′ , A 2 ′ , ⋯ , A n ′ ) \begin{pmatrix} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\\ \end{pmatrix} =\alpha\begin{pmatrix} A'_1,A'_2,\cdots,A'_n \end{pmatrix} (β1,β2,⋯,βn)=α(A1′,A2′,⋯,An′)
考虑 A α = β A\alpha=\beta Aα=β，
若记 A i A_i Ai 为 A A A 的行向量， α i \alpha_i αi 为 α \alpha α 列向量，则 形式（5） A i α j = β i j A_i\alpha_j=\beta_{ij} Aiαj=βij若记 A i A_i Ai 为 A A A 的列向量， α i \alpha_i αi 为 α \alpha α 行向量，则形式（6）
∑ A i α i = β \sum A_i\alpha_i=\beta ∑Aiαi=β
文字向量组的秩的结论
- 设 A A A 是 n × m n\times m n×m 阶矩阵， B B B 是 m × n m\times n m×n 阶矩阵，且 A B = I n AB=I_n AB=In，则 A A A 的行向量线性无关， B B B 的列向量线性无关
- 设 A A A 是 n × m n\times m n×m 阶矩阵， α \alpha α 是 m × k m\times k m×k 阶满秩矩阵，且 β = A α \beta =A\alpha β=Aα，则 r ( A ) = r ( β ) r(A)=r(\beta) r(A)=r(β)
证明思路
1的证明：考虑等价形式（5）易证
2的证明：考虑等价形式（4）易证
同构
定义
设 V , U V,U V,U 是数域 K \mathbb{K} K 上的两个线性空间，若存在 V V V 到 U U U 上的一个双射 ϕ \phi ϕ ，使得对任意 V V V 中向量 α , β \alpha,\beta α,β 以及 k ∈ K k\in\mathbb{K} k∈K，均有
ϕ ( α + β ) = ϕ ( α ) + ϕ ( β ) , ϕ ( k α ) = k ϕ ( α ) \phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta),\phi(k\alpha)=k\phi(\alpha) ϕ(α+β)=ϕ(α)+ϕ(β),ϕ(kα)=kϕ(α)
则称 V V V 与 U U U 同构，记为 V ≅ U V\cong U V≅U，称 ϕ \phi ϕ 为同构映射
命题
- 同构映射将线性相关（无关）向量组映为线性相关（无关）向量组
- 同构关系是等价关系：1.自反 2.对称 3.传递
- K \mathbb{K} K上两个有限维线性空间同构当且仅当它们维数相同
坐标
定义：（坐标）
设 n n n 维线性空间 V V V 的一组基 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en}， α ∈ V \alpha\in V α∈V，则有
α = a 1 e 1 + ⋯ + a n e n \alpha=a_1e_1+\cdots+a_ne_n α=a1e1+⋯+anen称 ( a 1 , … , a n ) ′ (a_1,\dots,a_n)' (a1,…,an)′ 为 α \alpha α 在基 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 下的坐标
命题
设 { e 1 , … , e m } \{e_1,\dots,e_m\} {e1,…,em} 是 m m m 维线性空间 V V V 的基， α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1,…,αn 是 V V V 中向量，其在基下的坐标向量依次为 α ~ 1 , … , α ~ n \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n α~1,…,α~n，则
- 向量组 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1,…,αn 与 α ~ 1 , … , α ~ n \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n α~1,…,α~n 有相同秩
- β \beta β 可由 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1,…,αn 线性表出当且仅当 β ~ \tilde{\beta} β~ 可由 α ~ 1 , … , α ~ n \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n α~1,…,α~n 线性表出
- α i 1 , … , α i r \alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r} αi1,…,αir 是 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1,…,αn 的极大无关组 当且仅当 α ~ i 1 , … , α ~ i r \tilde{\alpha}_{i_1},\dots,\tilde{\alpha}_{i_r} α~i1,…,α~ir 是 α ~ 1 , … , α ~ n \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_n α~1,…,α~n 的极大无关组
证明
同构映射将 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1,…,αn 的极大无关组映为 α ~ 1 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_m α~1,…,α~m 的极大无关组
定义：（过渡矩阵）
设 { e 1 , … , e n } , { f 1 , … , f n } \{e_1,\dots,e_n\},\{f_1,\dots,f_n\} {e1,…,en},{f1,…,fn} 是线性空间 V V V 的基，则有
{ f 1 = a 11 e 1 + ⋯ + a 1 n e n ⋮ f n = a n 1 e 1 + ⋯ + a n n e n \begin{cases} f_1=a_{11}e_1+\cdots+a_{1n}e_n\\ \vdots\\ f_n=a_{n1}e_1+\cdots+a_{nn}e_n\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧f1=a11e1+⋯+a1nen⋮fn=an1e1+⋯+annen称系数矩阵的转置为从 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 到 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1,…,fn} 的过渡矩阵
命题
设 { e 1 , … , e n } , { f 1 , … , f n } \{e_1,\dots,e_n\},\{f_1,\dots,f_n\} {e1,…,en},{f1,…,fn} 是线性空间 V V V 的基，且 α = λ 1 e 1 + ⋯ + λ n e n = u 1 f 1 + ⋯ + u n f n \alpha=\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_ne_n=u_1f_1+\cdots+u_nf_n α=λ1e1+⋯+λnen=u1f1+⋯+unfn则
( λ 1 ⋮ λ n ) ( a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) = ( u 1 ⋮ u n ) \begin{pmatrix} \lambda_1\\ \vdots\\ \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_1\\ \vdots\\ u_n\\ \end{pmatrix} λ1⋮λn a11⋮an1⋯⋯an1⋮ann = u1⋮un 当且仅当 ( a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} a11⋮an1⋯⋯an1⋮ann 是从 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 到 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1,…,fn} 的过渡矩阵
命题
设 A A A 为从 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 到 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1,…,fn} 的过渡矩阵，则从 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1,…,fn} 到 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1,…,en} 的过渡矩阵为 A − 1 A^{-1} A−1
下面举一个有趣的应用：
命题：证明 Taylor 公式
设 V V V 是次数不超过 n n n 的实系数多项式全体组成的线性空间，求从基 { 1 , x , x 2 , … , x n } \{1,x,x^2,\dots,x^n\} {1,x,x2,…,xn} 到基 { 1 , x − a , ( x − a ) 2 , … , ( x − a ) n } \{1,x-a,(x-a)^2,\dots,(x-a)^n\} {1,x−a,(x−a)2,…,(x−a)n} 的过渡矩阵，并以此证明多项式的 Taylor 公式：
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n f(x)=f(a)+1!f′(a)(x−a)+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n其中 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x) 表示 f ( x ) f(x) f(x) 的 n n n 次导数
证明：
过渡矩阵为
( 1 − a a 2 ⋯ ( − 1 ) n a n 0 1 − 2 a ⋯ ( − 1 ) n − 1 n a n − 1 0 0 1 ⋯ ( − 1 ) n − 2 n ( n − 1 ) 2 ! a n − 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ) \begin{pmatrix} 1&-a&a^2&\cdots&(-1)^na^n\\ 0&1&-2a&\cdots&(-1)^{n-1}na^{n-1}\\ 0&0&1&\cdots&(-1)^{n-2}\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix} 100⋮0−a10⋮0a2−2a1⋮0⋯⋯⋯⋯(−1)nan(−1)n−1nan−1(−1)n−22!n(n−1)an−2⋮1 其逆矩阵即为基 { 1 , x , x 2 , … , x n } \{1,x,x^2,\dots,x^n\} {1,x,x2,…,xn} 到基 { 1 , x + a , ( x + a ) 2 , … , ( x + a ) n } \{1,x+a,(x+a)^2,\dots,(x+a)^n\} {1,x+a,(x+a)2,…,(x+a)n} 的过渡矩阵
( 1 a a 2 ⋯ a n 0 1 2 a ⋯ n a n − 1 0 0 1 ⋯ n ( n − 1 ) 2 ! a n − 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ) \begin{pmatrix} 1&a&a^2&\cdots&a^n\\ 0&1&2a&\cdots&na^{n-1}\\ 0&0&1&\cdots&\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix} 100⋮0a10⋮0a22a1⋮0⋯⋯⋯⋯annan−12!n(n−1)an−2⋮1 设 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn ，则
( 1 a a 2 ⋯ a n 0 1 2 a ⋯ n a n − 1 0 0 1 ⋯ n ( n − 1 ) 2 ! a n − 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ) ( a 0 a 1 a 2 ⋮ a n ) = ( f ( a ) f ′ ( a ) 1 ! ⋮ f ( n ) ( a ) n ! ) \begin{pmatrix} 1&a&a^2&\cdots&a^n\\ 0&1&2a&\cdots&na^{n-1}\\ 0&0&1&\cdots&\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} f(a)\\\frac{f'(a)}{1!}\\\vdots\\\frac{f^{(n)}(a)}{n!} \end{pmatrix} 100⋮0a10⋮0a22a1⋮0⋯⋯⋯⋯annan−12!n(n−1)an−2⋮1 a0a1a2⋮an = f(a)1!f′(a)⋮n!f(n)(a)
子空间
子空间的定义和性质
定义：（子空间）
设线性空间 V V V ， V 0 V_0 V0 是 V V V 的非空子集，且对任意 α , β ∈ V 0 , k ∈ K \alpha,\beta\in V_0,k\in\mathbb{K} α,β∈V0,k∈K，总有 α + β ∈ V 0 \alpha+\beta\in V_0 α+β∈V0 及 k α ∈ V 0 k\alpha\in V_0 kα∈V0 ，则称 V 0 V_0 V0 是 V V V 的（线性）子空间；称 { 0 } \{0\} {0} 和 V V V 是 V V V 的平凡子空间
命题
- 子空间是线性空间（在全空间的加法和数乘下）
- 若 V 0 V_0 V0 是 V V V 的非平凡子空间，则 0 < d i m V 0 < d i m V = n 0
0<dimV0<dimV=n
子空间的和与交
定义：（子空间的和与交）
设 V V V 的子空间 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2
子空间之交： V 1 ∩ V 2 = { v ∣ v ∈ V 1 , v ∈ V 2 } V_1\cap V_2=\{v|v\in V_1,v\in V_2\} V1∩V2={v∣v∈V1,v∈V2}
子空间之和： V 1 + V 2 = { α + β ∣ α ∈ V 1 , β ∈ V 2 } V_1+V_2=\{\alpha +\beta|\alpha\in V_1,\beta\in V_2\} V1+V2={α+β∣α∈V1,β∈V2}
命题
子空间之和、之交仍为子空间
命题：子空间之和之交的求法
设子空间 V 1 V_1 V1 的基为 α = { α 1 , … , α n } \alpha=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\} α={α1,…,αn}，子空间 V 2 V_2 V2 的基为 β = { β 1 , … , β m } \beta=\{\beta_1,\dots,\beta_m\} β={β1,…,βm}，则
- V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2 的基为 α ∪ β \alpha\cup\beta α∪β 的极大无关组
- 任取 v ∈ V 1 ∩ V 2 v\in V_1\cap V_2 v∈V1∩V2 ，设 v = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n = ( − y 1 ) β 1 + ⋯ + ( − y m ) β m v=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=(-y_1)\beta_1+\cdots+(-y_m)\beta_m v=x1α1+⋯+xnαn=(−y1)β1+⋯+(−ym)βm解这个线性方程组，求得 ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y m ) (x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m) (x1,…,xn,y1,…,ym) 的通解后容易看出基
定义：子空间的生成
设线性空间 V V V 的子集 S S S，记 L ( S ) L(S) L(S) 为 S S S 中向量所有可能的线性组合构成的子集，则 L ( S ) L(S) L(S) 是 V V V 的一个子空间，称为由 S S S 生成的子空间
命题
- L ( S ) L(S) L(S) 是包含 S S S 的 V V V 的最小子空间
- L ( S ) L(S) L(S) 的维数等于 S S S 中的极大无关组所含向量的个数
定理：维数公式
设线性空间的子空间 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2，则
dim ( V 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 − dim ( V 1 ∩ V 2 ) \dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2) dim(V1+V2)=dimV1+dimV2−dim(V1∩V2)
直和
定义：（直和）
设子空间 V 1 , … , V m V_1,\dots,V_m V1,…,Vm，若 ∀ i , V i ∩ ( V 1 + ⋯ + V i − 1 + V i + 1 + ⋯ + V m ) = 0 \forall i ,V_i\cap(V_1+\cdots+V_{i-1}+V_{i+1}+\cdots+V_m)=0 ∀i,Vi∩(V1+⋯+Vi−1+Vi+1+⋯+Vm)=0，则称 V 1 + ⋯ + V m V_1+\cdots+V_m V1+⋯+Vm 为直和，记为 V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V m V_1\oplus \cdots \oplus V_m V1⊕⋯⊕Vm
命题：验证直和的办法
设子空间 V 1 , … , V m , V 0 = V 1 + ⋯ + V m V_1,\dots,V_m,V_0=V_1+\cdots+V_m V1,…,Vm,V0=V1+⋯+Vm，下列等价
- V 0 = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V m V_0=V_1\oplus \cdots\oplus V_m V0=V1⊕⋯⊕Vm 是直和
- ∀ 2 ≤ i ≤ m , V i ∩ ( V 1 + ⋯ + V i − 1 ) = 0 \forall 2\leq i\leq m,V_i\cap(V_1+\cdots+V_{i-1})=0 ∀2≤i≤m,Vi∩(V1+⋯+Vi−1)=0
- dim ( V 1 + ⋯ + V m ) = dim V 1 + ⋯ + dim V m \dim (V_1+\cdots +V_m)=\dim V_1+\cdots +\dim V_m dim(V1+⋯+Vm)=dimV1+⋯+dimVm
- V 1 , … , V m V_1,\dots,V_m V1,…,Vm 的一组基可拼成 V 0 V_0 V0 的一组基
- V 0 V_0 V0 中向量表示为 V 1 , … , V m V_1,\dots,V_m V1,…,Vm 中向量之和时其表示唯一
定义：补空间
设 U U U 是 V V V 的子空间，则存在 V V V 的子空间 W W W ，使得 V = U ⊕ W V=U\oplus W V=U⊕W，称 W W W 为 U U U 在 V V V 中的补空间
证明思路：基扩张定理
定义：两个空间的外直和
设数域 K \mathbb{K} K 上的两个线性空间 U , V U,V U,V， W = U × V ≜ { ( u , v ) ∣ u ∈ U , v ∈ V } W=U\times V\triangleq\{(u,v)|u\in U,v\in V\} W=U×V≜{(u,v)∣u∈U,v∈V}，现在 W W W 上定义加法和数乘：
( u 1 , v 1 ) + ( u 2 , v 2 ) = ( u 1 + u 2 , v 1 + v 2 ) , k ( u , v ) = ( k u , k v ) (u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2),k(u,v)=(ku,kv) (u1,v1)+(u2,v2)=(u1+u2,v1+v2),k(u,v)=(ku,kv)则 W W W 是 K \mathbb{K} K 上的线性空间，称为 U U U 和 V V V 的外直和
陪集和商空间
定义：陪集
设 V V V 是数域 K \mathbb{K} K 上的线性空间， U U U 是 V V V 的子空间，对任意的 v ∈ V v\in V v∈V，集合 v + U ≜ { u + v ∣ u ∈ U } v+U\triangleq \{u+v|u\in U\} v+U≜{u+v∣u∈U} 称为 v v v 的 U U U-陪集
性质
- U U U-陪集之间作为集合要么相等，要么不交
- v + U v+U v+U 是 V V V 的子空间当且仅当 v ∈ U v\in U v∈U
- v 1 + U = v 2 + U v_1+U=v_2+U v1+U=v2+U 当且仅当 v 1 − v 2 ∈ U v_1-v_2\in U v1−v2∈U
命题：陪集形成的线性空间
所有 U U U-陪集构成的集合 S = { v + U ∣ v ∈ V } S=\{v+U|v\in V\} S={v+U∣v∈V}上定义加法和数乘如下：
( v 1 + U ) + ( v 2 + U ) ≜ ( v 1 + v 2 ) + U , (v_1+U)+(v_2+U)\triangleq (v_1+v_2)+U, (v1+U)+(v2+U)≜(v1+v2)+U, k ⋅ ( v 1 + U ) ≜ k ⋅ v 1 + U k\cdot(v_1+U)\triangleq k\cdot v_1+U k⋅(v1+U)≜k⋅v1+U则 S S S 是一个线性空间，记为 V / U V/ U V/U，称为 V V V 关于子空间 U U U 的商空间
注：验证良定义性：即 S S S 中加法和数乘不依赖于代表元 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1,v2 的选取
定理：子空间的补空间和商空间同构
设 n n n 维线性空间 V V V， U U U 是 V V V 的子空间， W W W 是 U U U 的补空间，则存在线性同构 φ : W → V / U \varphi:W\to V/ U φ:W→V/U，故有
dim V / U = dim V − dim U \dim{V/ U}=\dim{V}-\dim{U} dimV/U=dimV−dimU
证明思路
取补空间的一组基 { e 1 , … , e m } \{e_{1},\dots,e_{m}\} {e1,…,em}，验证 { e 1 + U , … , e m + U } \{e_1+U,\dots,e_m+U\} {e1+U,…,em+U}是商空间 V / U V/U V/U 的一组基
解线性方程组
命题：线性方程组解的存在性与唯一性
考虑 n n n 个未知数， m m m 个方程的线性方程组， A A A 为系数矩阵， A ~ \tilde{A} A~ 为增广矩阵
- 若 r ( A ) = r ( A ~ ) = n r(A)=r(\tilde{A})=n r(A)=r(A~)=n，则方程组有唯一一组解
- 若 r ( A ) = r ( A ~ ) < n r(A)=r(\tilde{A})
r(A)=r(A~)<n ，则方程组有无穷多解 - 若 r ( A ) ≠ r ( A ~ ) r(A)\neq r(\tilde{A}) r(A)=r(A~)，则方程组无解
命题：齐次线性方程组解的结构
设齐次线性方程组 A X = 0 AX=0 AX=0，其中 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij) 是 m × n m\times n m×n矩阵
若 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n ，则方程组只有零解
若 r ( A ) < n r(A)
命题：非齐次线性方程组解的结构
设非齐次线性方程组 A X = β AX=\beta AX=β， r ( A ) = r ( ( ~ A ) ) = r < n r(A)=r(\tilde(A))=r
参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著