特征值和特征向量

特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors）都是对方阵而言的，给定矩阵A，它就像某个函数一样作用在向量x上，从而得到新向量Ax，我们感兴趣的是矩阵作用后那些新向量Ax与原向量x方向一致的向量，对多数向量而言，Ax是不同方向的，但有些特殊向量被矩阵作用后是跟x平行的，用式子来表示就是 为特征值，x为A的特征向量，所谓方向相同可表示方向相同，也可表示方向相反， 允许取负值或0，甚至可以是复数。

求解特征值和特征向量

对 进行移项得到 ，这个式子说明对于不为零向量的x，系数矩阵必须满足是奇异的，奇异阵行列式为0，则 ，此式称为特征方程（characteristic equation）或特征值方程（eigenvalueequation），根据特征方程求出了 后再用消元法求解x。下面用几个例子来求解特征值和特征向量。有置换矩阵 ，这是一个交换x中元素顺序的矩阵，因为例子比较简单，因此不用根据计算公式我们能直接写出特征值为1时，特征向量 ，特征值为-1时 ，注意特征值有几个非常重要的性质：

（1）n*n矩阵就有n个特征值，当然这n个特征值有可能有相等的（2）特征值的和等于对角线元素和，这个和数叫做迹（trace）（3）特征值的积等于矩阵的行列式

再看个例子，有对称阵 ，根据特征方程计算特征值有 ，可以看到方程中的6代表了迹，8表示矩阵的行列式，然后利用消元法求特征向量，特征值为4时， ，解得 ，同样求得 ，注意到对称阵和置换阵这两个例子中的矩阵A都是对称的，它的两个特征向量都是垂直的，另外仔细观察这两个例子，置换阵 ，对称阵 ，对称阵比置换阵多了3I，因此对称阵特征值相应的也加3，但是特征向量不变，这并不是偶然的，给定矩阵A，已知 ，现在在矩阵上加上3I，则有 ，所以特征值会加3，并且特征向量x是两个矩阵共同的特征向量，当然这个例子很特殊，假设我加上的是另外的矩阵，即已知 ，那么 是不成立的，因为虽然这里用的都是符号x，但是A的x不一定是B的x，两者的特征向量一般不同，因此一般而言，A+ B或者A B的特征值不等于A的特征值加上B的特征值或A的特征值加上B的特征值，特征值不满足于线性关系或乘积关系，所以这是一个注意点，只有当B是单位阵的倍数时，特征可以那样加，如果B是普通矩阵，那么对于A+B得按步骤求。

再举旋转矩阵的例子，记旋转矩阵为Q，这个矩阵将每个向量旋转90度， ，首先计算特征值，根据前面特征值的性质，有 ，前面的式子表示 一个为正，一个为负，但是第二个式子又表示两个值同号，我们还是按部就班来吧，，这个例子说明即使矩阵是实数，特征值算出来也可能是复数，且特征值之间总是两两互为共轭的，如果矩阵是对称的，就不会有复数特征值，遇到复数特征值总是我们不太希望的，但是复数特征值还不是最遭的，最糟的是某些特征值重复的情况，假设有 ，因为其是一个上三角阵，因此很容易得出其特征值就是3和3，这个矩阵的特征向量为 ，但是除此之外我们再也找不出与x1不相关的向量了，所以这是2*2的矩阵，但只有一个无关的特征向量。