【证明】对极几何：本质矩阵内在性质
--这是目录--
- 1.本质矩阵内在性质表述
- 2.预备知识
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- 2.1线性代数基础
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- 2.1.1奇异值与特征值的关系
- 2.1.2矩阵加减单位阵后特征值的变化
- 2.2引理：一个常用的矩阵变换
- 3.证明
1.本质矩阵内在性质表述
本质矩阵(Essential Matrix) E E E 是一个3阶方阵，满足
E = t ∧ R E = t^{\land}R E=t∧R
其中 R R R为旋转矩阵， t t t为平移量， t ∧ t^{\land} t∧运算定义如下（参考了《视觉SLAM十四讲》上的符号）
若 t = ( t 1 , t 2 , t 3 ) T t = (t_1, t_2, t_3)^{T} t=(t1,t2,t3)T，则
t ∧ = ( 0 − t 3 t 2 t 3 0 − t 1 − t 2 t 1 0 ) t^{\land} = \begin{pmatrix} 0 & -t_3 & t_2 \\ t_3 & 0 & -t_1 \\ -t_2 & t_1 & 0 \end{pmatrix} t∧=⎝⎛0t3−t2−t30t1t2−t10⎠⎞
本质矩阵的内在性质即为：本质矩阵 E E E的奇异值有 [ σ , σ , 0 ] T [\sigma, \sigma, 0]^T [σ,σ,0]T的形式。
2.预备知识
以下是证明本质矩阵内在性质用到的几个预备知识
2.1线性代数基础
2.1.1奇异值与特征值的关系
矩阵奇异值的定义如下：
对 于 A ∈ C n × n , r a n k ( A ) = r , 矩 阵 A T A 的 特 征 值 为 λ 1 ⩾ λ 2 ⩾ ⋯ λ r > 0 , λ r + 1 = λ r + 2 = ⋯ = λ n = 0 , 称 正 数 σ i = λ i ( i = 1 , 2 , … , n ) 为 矩 阵 A 的 奇 异 值 . 对于A\in\Complex^{n{\times}n},rank(A)=r,矩阵A^TA的特征值为{\lambda_1}{\geqslant}{\lambda_2}{\geqslant}{\cdots}{\lambda_r}>0,{\lambda_{r+1}}=\lambda_{r+2}=\cdots=\lambda_n=0,称正数\sigma_i=\sqrt{\smash[b]{\lambda_i}}(i=1,2,\dots,n)为矩阵A的奇异值. 对于A∈Cn×n,rank(A)=r,矩阵ATA的特征值为λ1⩾λ2⩾⋯λr>0,λr+1=λr+2=⋯=λn=0,称正数σi=λi(i=1,2,…,n)为矩阵A的奇异值.
2.1.2矩阵加减单位阵后特征值的变化
若方阵 A ( A ∈ R n × n ) A(A\in\mathbb{R}^{n{\times}n}) A(A∈Rn×n)的特征值为 λ 1 , λ 2 , … , λ n \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n λ1,λ2,…,λn， k k k为非零实数，则矩阵 A + k I A+kI A+kI的特征值为 λ 1 + k , λ 2 + k , … , λ n + k \lambda_1+k,\lambda_2+k,\dots,\lambda_n+k λ1+k,λ2+k,…,λn+k，其中 I I I为n阶单位阵。
实际上， λ 1 , λ 2 , … , λ n \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n λ1,λ2,…,λn为方阵 A A A的特征值 ⟺ \iff ⟺其为 A A A特征方程 ∣ A − λ I ∣ = 0 {\lvert}A-{\lambda}I\rvert=0 ∣A−λI∣=0的 n n n个根，易于验证 λ 1 + k , λ 2 + k , … , λ n + k \lambda_1+k,\lambda_2+k,\dots,\lambda_n+k λ1+k,λ2+k,…,λn+k是为方程 ∣ ( A + k I ) − λ I ∣ = 0 {\lvert}(A+kI)-{\lambda}I\rvert=0 ∣(A+kI)−λI∣=0的 n n n个根，故上述性质成立。
2.2引理：一个常用的矩阵变换
− ( t ∧ ) 2 = ( t 1 2 + t 2 2 + t 3 2 ) I − t t T -(t^{\land})^{2}=(t^{2}_{1}+t^{2}_{2}+t^{2}_{3})I-tt^{T} −(t∧)2=(t12+t22+t32)I−ttT
其中 t t t为平移量（ t ∈ R 3 t{\in}{\mathbb{R}^3} t∈R3）， I I I为三阶单位矩阵。
此引理按定义展开即证，与《视觉SLAM十四讲（第二版）》公式 ( 4.20 ) (4.20) (4.20)同理。
3.证明
由2.2.1节中所述，证明本质矩阵 E E E奇异值具有 [ σ , σ , 0 ] T [\sigma, \sigma, 0]^T [σ,σ,0]T的形式，只需证明矩阵 E T E E^TE ETE的特征值具有 [ λ , λ , 0 ] T [\lambda, \lambda, 0]^T [λ,λ,0]T的形式。由于矩阵 E E T EE^T EET与 E T E E^TE ETE有相同的非零特征值，所以证明内在性质也等价于证明矩阵 E E T EE^T EET的特征值具有 [ λ , λ , 0 ] T [\lambda, \lambda, 0]^T [λ,λ,0]T的形式，下面我们就来证明这一结论。
首先有
E E T = ( t ∧ R ) ( t ∧ R ) T = t ∧ R R T ( t ∧ ) T = t ∧ ( t ∧ ) T = − ( t ∧ ) 2 EE^T=(t^{\land}R)(t^{\land}R)^T=t^{\land}RR^T(t^{\land})^T=t^{\land}(t^{\land})^T=-(t^{\land})^2 EET=(t∧R)(t∧R)T=t∧RRT(t∧)T=t∧(t∧)T=−(t∧)2
由2.2节中引理有
− ( t ∧ ) 2 = ( t 1 2 + t 2 2 + t 3 2 ) I − t t T -(t^{\land})^{2}=(t^{2}_{1}+t^{2}_{2}+t^{2}_{3})I-tt^{T} −(t∧)2=(t12+t22+t32)I−ttT
记 θ 2 = t 1 2 + t 2 2 + t 3 2 \theta^2=t^{2}_{1}+t^{2}_{2}+t^{2}_{3} θ2=t12+t22+t32，则上式简化为
− ( t ∧ ) 2 = θ 2 I − t t T -(t^{\land})^{2}={\theta^2}I-tt^{T} −(t∧)2=θ2I−ttT
因为直接计算矩阵 − ( t ∧ ) 2 -(t^{\land})^{2} −(t∧)2的特征值形式过于复杂，我们转而计算矩阵 t t T tt^{T} ttT的特征值，再根据2.1.2中的结论得到矩阵 − ( t ∧ ) 2 -(t^{\land})^{2} −(t∧)2的特征值。经化简，矩阵 t t T tt^{T} ttT的特征行列式为
∣ t t T − λ I ∣ = λ 2 ( θ 2 − λ ) {\lvert}tt^{T}-{\lambda}I\rvert=\lambda^2(\theta^2-\lambda) ∣ttT−λI∣=λ2(θ2−λ)
故矩阵 t t T tt^{T} ttT的特征值为 λ 1 = λ 2 = 0 , λ 3 = θ 2 \lambda_1=\lambda_2=0,\lambda_3=\theta^2 λ1=λ2=0,λ3=θ2，由2.1.2节中的结论，矩阵 − ( t ∧ ) 2 -(t^{\land})^{2} −(t∧)2的特征值为 λ 1 = λ 2 = θ 2 , λ 3 = 0 \lambda_1=\lambda_2=\theta^2,\lambda_3=0 λ1=λ2=θ2,λ3=0，也就证明了矩阵 E E T EE^T EET的特征值具有 [ λ , λ , 0 ] T [\lambda, \lambda, 0]^T [λ,λ,0]T的形式。
特别的，可以求出本质矩阵 E E E的奇异值为 σ 1 = σ 2 = θ = t 1 2 + t 2 2 + t 3 2 , σ 3 = 0 \sigma_1=\sigma_2=\theta=\sqrt{\smash[b]{t^{2}_{1}+t^{2}_{2}+t^{2}_{3}}},\sigma_3=0 σ1=σ2=θ=t12+t22+t32,σ3=0，本质矩阵 E E E的内在性质得证。