Gcn符号笔记

Key Points

• 邻接矩阵 A通常表示无向图中结点之间的连接，尺寸为 [N,N]，其中 N 是结点的数量。
• 度矩阵 D 是对角矩阵，尺寸为 [N,N]，对角元素表示每个结点的度。
• 结点特征向量矩阵 X X X 的尺寸为 [N,C] ，其中 C 是每个结点的特征数量，包含结点的额外属性，如年龄或文本特征。

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邻接矩阵 A

邻接矩阵 A 是一个方阵，用于表示图中结点之间的连接关系。对于无向图，A[i,j]=1 A[i, j] = 1 A[i,j]=1 表示结点 i 和 j 之间有边，否则为 0。它的尺寸为 [N,N]，其中  N 是结点的总数。

例如，对于一个包含 3 个结点的图，结点 A、B、C，边为 (A, B) 和 (B, C)，则：

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度矩阵 D

度矩阵 D是一个对角矩阵，其对角元素 D[i,i] 表示结点 i  的度（即与其直接相连的边的数量）。它的尺寸也为 [N,N]。

继续上面的例子，结点的度分别为：

• A 的度为 1（连接到 B）
• B 的度为 2（连接到 A 和 C）
• C 的度为 1（连接到 B）

则：

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结点特征向量矩阵 X

结点特征向量矩阵 X包含每个结点的额外属性，尺寸为 [N,C]，其中 C  是特征的数量。这些特征可以是任何与结点相关的属性，如社会网络中的年龄、性别，或学术论文中的词汇出现情况。

例如，假设每个结点有两个特征：年龄和性别（0 为女性，1 为男性）：

• A：年龄 25，性别 0
• B：年龄 30，性别 1
• C：年龄 28，性别 1

则：

另一个例子是 Cora 数据集，其中每个结点是论文，特征是基于 1433 个词汇的二进制向量，表示词汇是否出现在论文中。X的尺寸为 [2708,1433]，例如一个小例子：

• 论文1 包含词汇 1、2、3，则行向量为 [1, 1, 1, 0, 0]（假设只有 5 个词汇）。

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详细说明

以下是关于无向图 G=(V,E) G = (V, E) G=(V,E) 中各矩阵的详细解释，包括邻接矩阵 A A A、度矩阵 D D D 和结点特征向量矩阵 X X X，以及举例说明，特别是对 X X X 的详细示例。

背景与定义

无向图 G=(V,E) G = (V, E) G=(V,E) 由结点集 V V V 和边集 E E E 组成，其中：

• V  包含网络中所有的 N  个结点。
• E 代表结点之间的边，表示无向连接（即边没有方向）。

为了分析图的结构和属性，我们常用矩阵表示：

• 邻接矩阵 A ：大小为 [N,N] ，元素 A[i,j]=1 表示结点 i和 j之间有边，A[i,j]=0 表示无边。对于无向图，A 是对称矩阵，且对角线通常为 0（无自环）。
• 度矩阵 D ：大小为 [N,N]，是一个对角矩阵，其中 D[i,i] 是结点 i的度（即与其直接相连的边的数量）。
• 结点特征向量矩阵 X ：大小为 [N,C] ，其中 C 是每个结点的特征数量，包含与每个结点相关的额外属性，常见于图机器学习任务。

举例说明

为了更直观地理解这些矩阵，我们以一个简单的小型无向图为例，包含 3 个结点 A、B、C，边为 (A, B) 和 (B, C)。

1. 邻接矩阵 A

我们按顺序排列结点为 A、B、C，则：

• A 连接 B，B 连接 A 和 C，C 连接 B。
• 因此，A A A 为：
• ​​
• 这里，A[0,1]=1 表示 A 和 B 相连，A[0,2]=0 表示 A 和 C 不相连。

2. 度矩阵 D

计算每个结点的度：

• A 的度为 1（只连接 B）
• B 的度为 2（连接 A 和 C）
• C 的度为 1（只连接 B）

因此，D D D 为：

这是对角矩阵，对角线元素分别是各结点的度。

3. 结点特征向量矩阵 X

现在我们为每个结点添加两个特征：年龄和性别（0 为女性，1 为男性）。假设：

• A：年龄 25，性别 0
• B：年龄 30，性别 1
• C：年龄 28，性别 1

则 X X X 为：

这里，X X X 的尺寸为 [3,2] [3, 2] [3,2]，第一列是年龄，第二列是性别。

为了进一步说明 X X X 的多样性，我们再看一个实际数据集的例子：Cora 数据集。Cora 是一个引用网络，包含 2708 篇论文（结点），每个论文用一个基于 1433 个词汇的二进制向量表示，表明词汇是否出现在论文中。例如：

• 如果我们只考虑 3 篇论文和 5 个词汇，假设：
  • 论文1 包含词汇 1、2、3，则行向量为 [1, 1, 1, 0, 0]
  • 论文2 包含词汇 2、4，则行向量为 [0, 1, 0, 1, 0]
  • 论文3 包含词汇 3、5，则行向量为 [0, 0, 1, 0, 1]

则 X X X 为：

这里，C=5 C = 5 C=5，每个特征对应一个词汇的出现情况。

总结与应用

• 邻接矩阵 A A A 和 度矩阵 D D D 主要用于描述图的结构，常见于图论中的分析。
• 结点特征向量矩阵 X X X 则在图机器学习中尤为重要，特别是在图神经网络（GNN）中，用于结点分类、链接预测等任务。特征可以是数值（如年龄）、分类（如性别），或高维向量（如文本特征）。

以下表格总结了各矩阵的定义和例子：

矩阵	尺寸	定义	示例（3 结点图）
邻接矩阵 A	[N,N]	表示结点间连接，A[i,j]=1  有边	[010101010] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ​010​101​010​​
度矩阵 D	[N,N]	对角矩阵，对角元素为结点的度	[100020001] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ​100​020​001​​
特征矩阵 X	[N,C]	每个结点的 C  个特征，描述属性	[250301281] \begin{bmatrix} 25 & 0 \\ 30 & 1 \\ 28 & 1 \end{bmatrix} ​253028​011​​ (年龄、性别)

通过这些例子，相信可以更清楚地理解各矩阵的含义，特别是 X X X 在实际应用中的多样性。

参考资料：

• Introduction to Graph Machine Learning
• What are examples of node 'features' in graph networks? - Artificial Intelligence Stack Exchange
• Graph Neural Networks Series | Part 3 | Node embedding | by Omar Hussein | The Modern Scientist | Medium
• The Cora dataset - Graph Consulting
• Papers with Code - Cora Dataset