线性代数 第一讲 行列式_行列式定义_性质_计算_题型总结

线性代数 第一讲 行列式

1. 行列式的定义

1.1 本质定义(几何定义)

⭐️学习目的：更好的理解行列式

行列式是一个数，从几何的角度来说，二阶行列式，就是由两个二维向量为邻边的平行四边形面积，三阶行列式是以这三个向量为邻边的平行六边形的体积。

由此我们不难得出，如果两个向量是线性相关的，它组不成一个平行四边形，面积=0，行列式就是0，如果面积不是0，那么他们是线性无关的，可以推广到n阶行列式

1.2 行列式的逆序数表示法(第二种定义)

⭐️学习目的：解决n阶行列式的计算问题，但是由于方法比较复杂，多用于高阶行列式的某一项如何书写。逆序数的计算要掌握，通过逆序数的计算能得到具体某一项的正负

n阶行列式的定义:一共n!项，每项都要取到不同行不同列的元素（每项由n个数组成）！

该项正负由逆序数决定。逆序数是偶数，该项为正数，逆序数是奇数，该项为负数。
求逆序数的例子，
如a₁₂a₃₁a₅₄a₄₃a₂₅,先整理a₁₂a₂₅a₃₁a₄₃a₅₄ ，逆序数ζ（25134）,2大于1算一个，5大于134算三个，其他正序，3+1=4（偶数）故为正。

1.3 行列式的展开定理(第三种定义）

⭐️学习目的：计算三阶以上行列式，用逆序数表示法很复杂，用展开定理，本质是降阶的思想可以很好的解决。

余子式:元素a_ij，余子式记做M_ij，求法是去掉i行j列，剩下元素按原来的位置组成的降一阶的行列式.

代数余子式:代数余子式，记做A_ij=（-1）的i+j次方乘上M_ij.

展开计算行列式:行列式的某行(列）元素乘上对应的代数余子式，最后加和.

2.行列式的性质

2.1 矩阵行列式的性质

2.2 方阵行列式的性质

3.行列式的计算

3.1 具体型行列式的计算

1.某行或某列中0多，考虑直接展开
2.爪形化成上下三角行列式计算
3.看不出类型的行列式化成爪形再化成上下三角行列式（通过逐行计算的方式）
4.0的位置规则，化成拉普拉斯
5.行和相等的行列式(加到某一行或某一列)，提出公共部分。

3.2 抽象型行列式的计算

1.使用性质进行一些转换，再进行计算
2.使用矩阵运算(搭配观察法)
3.补E矩阵

3.3 常用的行列式(加速计算)

⭐️学习目的：通过学习常见的行列式，看到常用的行列式就可以直接算出答案，或者将不常用的行列式化成常用的行列式。

助记:
如何记忆拉普拉斯行列式？
首先记形式，分块矩阵中的矩阵A和矩阵B，可以在主对角线上，也可以在副对角线上。4个块剩下的两块，可以都为0矩阵，也可以一块是0矩阵，一块不是。

其次判正负,若A，B在主对角线上就是正的，若A，B在副对角线上就是负的。

4.重难点题型总结

4.1 行列式中关于某项计算的题目(某项系数，常数项)

1. 展开式分析
2. 用逆序

4.2 抽象行列式计算的经典题目

4.3 补E恒等变形

4.4 代数余子式与余子式相关

4.5 行列式内为加法如，|A+B| ｜A+E｜

因为行列式性质中并没有内部为加法的运算。
所以该类问题的核心是处理矩阵，处理矩阵再求其行列式，或者把和的形式根据题目条件写成积的形式。

4.6 计算n阶行列式

计算n阶行列式的题目看着很复杂，看到这类问题，不妨写出一个他的5阶行列式，根据这个行列式去找规律，找递推公式，找联系，即可解决问题。

总结来源:
880 第7章行列式 基础篇解答题3-4