矩阵的行列式和逆矩阵的行列式的关系

矩阵的行列式和它的逆矩阵的行列式之间有明确的数学关系。我们来详细解释这个关系。

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✅ 前提条件：

要讨论逆矩阵的行列式，首先必须满足矩阵是可逆的（即：非奇异矩阵），也就是说：

• 矩阵 $A$ 是一个 方阵（行数等于列数）
• 且其行列式 $\det (A)\ne 0$

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核心公式：

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的可逆矩阵，则其逆矩阵 $A^{-1}$ 存在，并且满足以下关系：

$$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$$

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推导过程简述：

我们知道：
$$A\cdot A^{-1}=I$$
其中 $I$ 是单位矩阵。

对两边取行列式：
$$\det (A\cdot A^{-1})=\det (I)$$

利用行列式的乘法性质：
$$\det (A)\cdot \det (A^{-1})=\det (I)=1$$

所以：
$$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$$

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总结：

概念	表达式
矩阵行列式	$\det (A)$
逆矩阵行列式	$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$

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示例说明：

设矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$$

计算行列式：
$$\det (A)=2\cdot 3-1\cdot 4=6-4=2$$

则：
$$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}=\frac{1}{2}$$

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⚠️ 注意事项：

• 如果 $\det (A)=0$，矩阵不可逆，谈不上 $A^{-1}$ 和它的行列式。
• 这个关系适用于任意维度的可逆方阵（如 $2\times 2,3\times 3,\dots$）。