线性代数小述（三）

线性代数小述（三）

by Amamiya Fuko

此去经年返，安知胡不归？

前言

FU⭐️KO

首先需要对上一篇的线性组合的概念做一个更正，然后是考虑行列式相关的内容。

目录

1.线性组合
2.行列式
-行列式运算的定义
-拉普拉斯展开

线性组合

线性组合是对一个向量的分解。考虑一个二维空间，若某一向量与两个向量在同在该空间中，且这两个向量是线性无关的（不平行的），则必然有这个向量对于后两个向量的线性组合表示，如
$$A\check{v_1}+B\check{v_2}=\check{b}$$

行列式

行列式最开始只是种简便记法，如对于以下以下线性组合有
[ a 1 b 1 a 2 b 2 ] [ x 1 x 2 ] = [ c 1 c 2 ] D = ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ , D 1 = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ , D 2 = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ [ D 0 0 D ] [ x 1 x 2 ] = [ D 1 D 2 ] x 1 = D 1 D − 1 ， x 2 = D 2 D − 1 \begin{array}{l} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} \\ \\ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}, D_1 = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}, D_2 = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} D & 0 \\ 0 & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} D_1 \\ D_2 \end{bmatrix} \\ \\ x_1 = D_{1}D^{-1}，x_2= D_{2}D^{-1} \end{array} [a1​a2​​b1​b2​​][x1​x2​​]=[c1​c2​​]D= ​a1​a2​​b1​b2​​ ​,D1​= ​c1​c2​​b1​b2​​ ​,D2​= ​a1​a2​​c1​c2​​ ​[D0​0D​][x1​x2​​]=[D1​D2​​]x1​=D1​D−1，x2​=D2​D−1​

行列式运算的定义

设$A_{i\times j}$为n阶方阵
A = [ a 11 ⋯ a 1 j ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 ⋯ a i j ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} \end{bmatrix} A= ​a11​⋮ai1​​⋯⋱⋯​a1j​⋮aij​​ ​

$\det A=|A|=\sum (-1{)}^{\tau (i_1\cdots i_n)+\tau (j_1\cdots j_n)}{a}_{i_1{j}_1}\cdots a_{i_n{j}_n}$

其中$\tau (N)$为排列 N 的逆序数，如$\tau (132)=1$，$\tau (123)=0$

拉普拉斯展开

子式与余子式，设子式为A，余子式为M，则它们有下列关系

[ A M ] \left[\begin{array}{c|ccc} A & & & \\ \hline \\ & & M & \\ & & & \end{array}\right] ​A​​M​​​ ​
拉普拉斯展开有
$$\det A=\sum (-1{)}^{i+j}{A}_{ij}{M}_{ij}$$