线性相关和线性无关

在线性代数中，线性相关和线性无关是刻画向量组性质的核心概念，以下是关于它们的重要结论总结：

一、基本定义与核心判定

1. 线性相关的定义
   向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\}$ 线性相关，当且仅当存在不全为零的实数 $k_1,k_2,\dots ,k_m$

2. 线性无关的定义
   向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\}$ 线性无关，当且仅当仅当 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ 时

3. 单个向量的情形

   • 单个向量 $\alpha$ 线性相关 $⟺\alpha =0$；
   • 单个向量 $\alpha$ 线性无关 $⟺\alpha \ne 0$。

4. 两个向量的情形
   两个向量 $\alpha ,\beta$ 线性相关 $⟺\alpha$ 与 $\beta$ 成比例（即存在实数 $k$ 使得 $\alpha =k\beta$ 或 $\beta =k\alpha$）。

二、向量组相关性的基本性质

1. 部分与整体的关系

   • 若向量组的某个部分组线性相关，则整个向量组线性相关（部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关）；
   • 若整个向量组线性无关，则其任意部分组线性无关（整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关）。

2. 含零向量的向量组
   若向量组中包含零向量，则该向量组必线性相关。

3. 向量个数与维度的关系

   • 在 $n$ 维向量空间中，任意 $n+1$ 个向量必线性相关（向量个数超过维度必相关）；
   • $n$ 维向量空间中，线性无关的向量组最多含 $n$ 个向量。

4. 线性表示与相关性

   • 向量组 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\}$ 线性相关 $⟺$ 至少存在一个向量可由其余向量线性表示；
   • 向量组 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\}$ 线性无关 $⟺$ 任意向量都不能由其余向量线性表示。

5. 添加/删除向量的影响

   • 若向量组线性无关，添加新向量后可能变为相关；
   • 若向量组线性相关，删除某个向量后可能变为无关（需保留极大无关组）。

6. 添加/删除分量的影响

   • 若 $n$ 维向量组线性无关，将每个向量添加 $k$ 个分量（扩展为 $n+k$ 维）后仍线性无关（无关组扩展分量仍无关）；
   • 若 $n$ 维向量组线性相关，删除每个向量的 $k$ 个分量（压缩为 $n-k$ 维）后仍线性相关（相关组压缩分量仍相关）。

三、与矩阵秩、行列式的关系

1. 矩阵秩的视角
   设向量组 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\}$ 构成矩阵 $A=[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m]$，则：

   • 向量组线性相关 $⟺\text{秩}(A)<m$；
   • 向量组线性无关 $⟺\text{秩}(A)=m$。

2. 行列式的应用（方阵情形）
   若 $n$ 个 $n$ 维向量构成方阵 $A$，则：

   • 向量组线性相关 $⟺|A|=0$；
   • 向量组线性无关 $⟺|A|\ne 0$。

3. 极大线性无关组
   向量组的极大线性无关组所含向量个数等于该向量组的秩；线性无关组的极大无关组即为其本身。

四、向量组之间的线性表示与相关性

1. 替换定理（Steinitz定理）
   若向量组 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\}$ 线性无关，且可由向量组 $\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_s\}$ 线性表示，则 $r\le s$。

2. 秩的比较
   若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则 $A$ 的秩 $\le B$ 的秩。

3. 等价向量组的秩
   若两向量组等价（可互相线性表示），则它们的秩相等。

五、与线性方程组的联系

1. 齐次方程组的解向量
   齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解向量组：

   • 仅有零解 $⟺A$ 的列向量组线性无关；
   • 有非零解 $⟺A$ 的列向量组线性相关。

2. 基础解系的性质
   若 $Ax=0$ 的系数矩阵秩为 $r$，则其基础解系含 $n-r$ 个线性无关的解向量，且所有解可由基础解系线性表示。

六、线性空间中的基与相关性

1. 基的定义
   线性空间的基是一组线性无关且能生成整个空间的向量组，基中向量个数等于空间的维度。

2. 基的扩充
   若 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\}$ 是线性空间 $V$ 中的线性无关组，且 $r<\dim V$，则可扩充为 $V$ 的一组基。

七、重要推论与典型结论

1. 标准单位向量组
   $n$ 维标准单位向量组 $\{{\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n\}$ 线性无关，且是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基。

2. 线性无关组的线性组合
   若 $\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\}$ 线性无关，且 $\beta =k_1{\alpha }_1+\cdots +k_m{\alpha }_m$，则表示系数唯一。

3. 向量组相关性的传递性
   若向量组 $A$ 线性无关，向量组 $B$ 可由 $A$ 线性表示且 $|B|>|A|$，则 $B$ 必线性相关。

以上结论覆盖了线性相关与线性无关的核心性质，从定义、判定到与矩阵、方程组、线性空间的联系，是线性代数理论体系的重要基础。实际应用中，可通过秩的计算、方程组求解或线性表示关系来判断向量组的相关性。