【算法笔记】欧几里得算法

欧几里得算法（Euclidean algorithm）

\qquad 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数$a$，$b$的最大公约数。

计算公式

$$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$ \qquad 其中$amodb$是$a$除以$b$的余数（取余运算），也可以写成$a\%b$。

证明方法

\qquad 对于任意正整数$a$，$b$，都有
$$a=kb+r(k,r\in N)$$ \qquad 所以有
$$r=a\%b$$ \qquad 假设$c$是$a$和$b$的最大公约数，即
$$c=gcd(a,b)$$ \qquad 所以可得$c|a$且$c|b$（$|$表示能整除），又因为$r=a-kb$，得
$$c|r$$ \qquad 又因为$c|b$，可得
$$c=gcd(b,r)$$ \qquad 即
$$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$

代码实现

\qquad 迭代方法：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}

\qquad 递归方法：

int gcd(int a,int b)
{
    while(b)
    {
        a = a%b;
        swap(a,b);
    }
    return a;
}

\qquad 两种算法的本质是一样的。