【算法笔记】树套树

一、前言

在面对二维区间统计问题时，比如：

• 查询某个一维区间中，大于某个值的数的个数
• 对一个序列同时支持区间查询 + 单点修改

我们常用的一维数据结构（如线段树、树状数组）往往显得力不从心。此时，我们可以考虑一种高效的数据结构组合：树套树。

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二、什么是树套树？

“树套树”顾名思义，就是一棵树中的每个节点再套一棵树。

最常见的树套树结构是：

• 外层：线段树/树状数组，按照下标维护区间
• 内层：平衡树（如 STL multiset 或手写 Treap/Splay）维护该区间内的值集合

通过树套树，可以实现如下操作：

• 单点修改某个值
• 查询区间中小于/大于某值的数的个数
• 查询区间第 $k$ 小数值（需平衡树）

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三、典型问题：二维数点问题

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$，支持以下操作：

1. 修改某个位置的值
2. 查询某个区间 $[l,r]$ 内，**有多少个数大于$k$

例如：

a = [1, 5, 2, 4, 3]

查询 (l=2, r=4, k=2)：返回 2（即 5 和 4）

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四、树套树实现思路

1. 外层线段树（按下标划分）

我们构建一棵线段树，每个节点维护一个子区间 $[l,r]$ 对应的数值集合（支持动态插入和删除）。

2. 内层平衡树（或 multiset）

每个线段树节点用一个 multiset 保存该区间内所有数值，并支持：

• 插入 / 删除某个值（用于修改操作）
• 查询大于某个值的个数（用 upper_bound 实现）

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五、代码实现（C++）

#include 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int a[N];

struct SegmentTree {
    int l, r;
    multiset<int> s;
    SegmentTree* left = nullptr;
    SegmentTree* right = nullptr;

    SegmentTree(int l, int r): l(l), r(r) {
        if (l == r) {
            s.insert(a[l]);
        } else {
            int m = (l + r) / 2;
            left = new SegmentTree(l, m);
            right = new SegmentTree(m + 1, r);
            s.insert(left->s.begin(), left->s.end());
            s.insert(right->s.begin(), right->s.end());
        }
    }

    void update(int pos, int old_val, int new_val) {
        s.erase(s.find(old_val));
        s.insert(new_val);
        if (l == r) return;
        int m = (l + r) / 2;
        if (pos <= m) left->update(pos, old_val, new_val);
        else right->update(pos, old_val, new_val);
    }

    int query(int ql, int qr, int k) {
        if (qr < l || r < ql) return 0;
        if (ql <= l && r <= qr) {
            return s.end() - s.upper_bound(k);
        }
        return left->query(ql, qr, k) + right->query(ql, qr, k);
    }
};

使用方式

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];

    SegmentTree* root = new SegmentTree(1, n);

    while (q--) {
        string op;
        cin >> op;
        if (op == "Q") {
            int l, r, k;
            cin >> l >> r >> k;
            cout << root->query(l, r, k) << '\n';
        } else if (op == "M") {
            int x, v;
            cin >> x >> v;
            root->update(x, a[x], v);
            a[x] = v;
        }
    }
}

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六、复杂度分析

• 构建：$O(nlogn)$，每个数插入 $logn$ 层
• 单点修改：$O(lo{g}^{2}n)$，每层修改 multiset 需要 $logn$
• 区间查询：$O(lo{g}^{2}n)$，遍历 $logn$ 层，每层查 multiset

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树套树能高效解决如下问题：

• 区间中大于 / 小于某值的个数
• 区间第 $k$ 大（需在内层维护秩信息）
• 二维数点问题（如 CDQ 分治 + 树套树）
• 动态逆序对维护