【算法笔记】红黑树插入操作

红黑树插入与调整详解

一、红黑树的五大性质

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树（BST），其核心特性如下：

1. 颜色属性：每个节点非红即黑
2. 根属性：根节点必须为黑色
3. 叶子属性：所有的 NIL 叶子节点都是黑色
4. 红节点约束：红色节点的子节点必须为黑色（即无连续红节点）
5. 黑高平衡：从任一节点到其所有后代叶子节点的路径中，黑色节点数量相等

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二、插入操作流程

阶段 1：标准 BST 插入

• 从根节点开始查找插入位置
• 新节点总是红色
• 按照 BST 规则插入

阶段 2：平衡修复（重点）

当插入后新节点的父节点是红色时，需要进行结构调整。核心考量因素：

• 父节点是祖父的左孩子还是右孩子
• 叔叔节点的颜色
• 新节点的插入方向（左/右）

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三、调整情况详解

情况分类表

父节点位置	叔叔颜色	插入方向	操作类型	案例编号
左子树	红	-	重新着色	Case 1
左子树	黑	右孩子	左旋	Case 2
左子树	黑	左孩子	右旋 + 变色	Case 3
右子树	红	-	重新着色	Case 1’
右子树	黑	左孩子	右旋	Case 2’
右子树	黑	右孩子	左旋 + 变色	Case 3’

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详细调整步骤（以父节点为左孩子为例）

Case 1：叔叔为红色

• 父节点、叔叔设为黑色
• 祖父节点设为红色
• 将祖父节点作为新节点，递归向上调整

Case 2：叔叔为黑且新节点是右孩子

• 以父节点为支点进行左旋
• 转换为 Case 3 处理

Case 3：叔叔为黑且新节点是左孩子

• 父节点设为黑色
• 祖父节点设为红色
• 以祖父节点为支点进行右旋

父节点为右孩子的情况完全对称。

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四、记忆技巧与口诀

三步判断法

1. 看颜色：父节点为红色才需要调整
2. 查叔叔：查看叔叔节点颜色
3. 辨方向：判断新节点是左插还是右插

核心口诀

红叔变色向上传，
黑叔旋转看方向；
先左后右调平衡，
黑高不变记心上。

颜色标记法

• 红色节点：可能引发冲突
• 黑色节点：安全、稳定
• 新插入节点：总是红色

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五、代码实现框架

def insert_fixup(tree, z):
    while z.parent.color == RED:
        if z.parent == z.parent.parent.left:
            uncle = z.parent.parent.right
            if uncle.color == RED:  # Case 1
                z.parent.color = BLACK
                uncle.color = BLACK
                z.parent.parent.color = RED
                z = z.parent.parent
            else:
                if z == z.parent.right:  # Case 2
                    z = z.parent
                    left_rotate(tree, z)
                # Case 3
                z.parent.color = BLACK
                z.parent.parent.color = RED
                right_rotate(tree, z.parent.parent)
        else:
            # 对称处理：父节点为右孩子
            uncle = z.parent.parent.left
            if uncle.color == RED:  # Case 1'
                z.parent.color = BLACK
                uncle.color = BLACK
                z.parent.parent.color = RED
                z = z.parent.parent
            else:
                if z == z.parent.left:  # Case 2'
                    z = z.parent
                    right_rotate(tree, z)
                # Case 3'
                z.parent.color = BLACK
                z.parent.parent.color = RED
                left_rotate(tree, z.parent.parent)
    tree.root.color = BLACK