偶数项收敛半径

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背景：幂级数与收敛半径

一个幂级数（power series）：

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

其收敛半径 $R$ 表示该级数在哪些 $x$ 的取值范围内收敛。其计算公式：

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$$

或者若极限存在，也可使用：

1 R = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| R1​=n→∞lim​ ​an​an+1​​ ​

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分析奇次项和偶次项收敛半径

设：

• 对于偶次项：令 $y=x^2$，则：

  $$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{y}^n$$

• 假设其收敛半径为 $R_y$，则对 $x$ 而言：

  $$x^2<R_y\Rightarrow |x|<\sqrt{R_y}$$

✅ 所以结论：

• 如果原级数中偶次项组成的子级数对 $y=x^2$ 的收敛半径是 $R_y=1/p$，那么对 $x$ 而言，收敛半径是：

  $$R_{\text{偶}}=\sqrt{1/p}$$

• 同理，奇次项若也类似处理，最终也会得出：

  $$R_{\text{奇}}=\sqrt{1/p}$$

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将偶次项提取出来形成一个以 $x^2$ 为自变量的新级数，其收敛半径是 $1/p$，回代回来后 $|x|<\sqrt{1/p}$。

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✅ 最终结论总结：

子级数类型	变量替换	子级数收敛半径 $R_y$	对应原变量 $x$ 的收敛半径 $R_x$
偶次项	$y=x^2$	$1/p$	$\sqrt{1/p}$
奇次项	$y=x^2$	$1/p$	$\sqrt{1/p}$

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