高等数学：从入门到精通

《高等数学：从入门到精通》

目录

第一卷：数学基础与核心工具

第1章 数学语言与逻辑基础

• 集合论与数理逻辑

  • 集合的基本概念与运算（子、并、交、补、幂、笛卡尔积）
  • 容斥原理及其应用
  • 命题逻辑：联结词（与、或、非、蕴含、等价）、真值表、逻辑等价与逻辑推理
  • 量词（一阶逻辑）：全称量词与存在量词，自由变量与约束变量
  • 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法与超限归纳法

• 数系与抽象结构

  • 自然数、整数、有理数、实数、复数的公理化构建
  • 复数的几何表示与四元数代数简介
  • 代数运算公理：群、环、域的定义及基本性质，初步示例

第2章 解析几何与函数理论

• 几何建模工具

  • 二次曲线与二次曲面的分类及其不变量
  • 向量空间：基、维数、线性变换
  • 向量积与混合积的应用（平面方程、空间几何）
  • 极坐标、柱坐标与球坐标的几何分析

• 函数分析与极限理论

  • 初等函数族：指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数及其性质
  • 极限的严格定义：ε-δ语言与序列语言及其等价性
  • 连续性理论：连续函数、间断点、一致连续性
  • 紧致性与紧致集的性质

第3章 单变量微积分核心

• 微分学

  • 导数与微分的定义、几何与物理意义（瞬时速度、加速度、曲率）
  • 微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
  • 洛必达法则与泰勒展开：泰勒定理及其余项分析
  • 凸函数与优化初步：极值判别法、凸性条件

• 积分学

  • 黎曼积分与达布上下和理论：可积性条件
  • 积分技巧：分部积分、三角替换、部分分式分解
  • 微积分基本定理的严格证明：牛顿-莱布尼茨公式
  • 广义积分与瑕积分

• 微分方程入门

  • 一阶线性微分方程与分离变量法
  • 二阶常系数线性微分方程：齐次与非齐次解
  • 简谐振动模型及其应用

---

第二卷：多变量分析与代数结构

第4章 多变量微积分与场论

• 多元微分学

  • 偏导数、全微分与方向导数
  • 雅可比矩阵与多元函数的极值问题
  • 梯度下降法与最优化算法
  • 隐函数定理与拉格朗日乘数法

• 重积分与场论定理

  • 重积分的定义与计算：极坐标、柱坐标、球坐标变换
  • 雅可比行列式与坐标变换下的积分计算
  • 格林定理、斯托克斯定理与高斯定理的统一视角：微分形式与外微分

第5章 线性代数与抽象代数

• 向量空间与矩阵理论

  • 向量空间的定义与基本性质：线性组合、线性无关性、基与维数
  • 矩阵运算：线性变换、矩阵的秩、特征值与特征向量
  • 基变换与矩阵对角化：相似矩阵、正交对角化
  • 内积空间：内积、正交基、格拉姆-施密特正交化

• 群论与环论

  • 群的基本概念：群运算、群的同态与同构、子群与正规子群
  • 群作用与对称性分析：晶体群、置换群
  • 环与域：多项式环、理想与商环
  • 理想理论：主理想、极大理想、素理想，希尔伯特基定理简介

第6章 实分析与复分析

• 实数理论与测度论

  • 实数完备性六大定理：确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则
  • 勒贝格测度与可测函数：测度空间、可测集、可测函数
  • 勒贝格积分：积分的定义、性质与基本定理

• 复变函数论

  • 解析函数：柯西-黎曼方程、解析函数的性质
  • 复积分：柯西积分定理、柯西积分公式
  • 解析延拓与黎曼映射定理
  • 留数定理及其在实积分计算中的应用

---

第三卷：高阶数学与现代理论

第7章 微分几何与拓扑学

• 流形与微分形式

  • 流形的定义与基本性质：拓扑流形、微分流形
  • 切丛与余切丛：纤维化结构、向量场与微分形式
  • 外微分与斯托克斯定理的流形表述

• 黎曼几何

  • 黎曼度量与黎曼流形：曲率张量、黎曼曲率张量
  • 测地线：测地方程、测地线的性质
  • 爱因斯坦方程的思想：广义相对论简介

第8章 数论与代数几何

• 代数数论

  • 代数数与代数整数：代数数域、代数整数环
  • 理想类群与戴德金ζ函数：类数公式、ζ函数的性质
  • 费马大定理的模形式解释：椭圆曲线与模形式

• 代数几何基础

  • 仿射代数簇与射影代数簇：代数集、理想与代数簇
  • 几何对应：扎里斯基拓扑、希尔伯特零点定理
  • 概形理论：格罗滕迪克重构、概形的定义与性质

---

第四卷：应用数学与交叉科学

第9章 计算数学与优化

• 数值分析

  • 数值微分与数值积分：插值法、逼近论
  • 求解线性方程组的迭代法：雅可比法、高斯-赛德尔法
  • 有限元方法求解椭圆型偏微分方程：变分原理、有限元空间

• 快速傅里叶变换与信号处理

  • 离散傅里叶变换：定义、性质与应用
  • 快速傅里叶变换算法：时间复杂度分析
  • 信号处理中的应用：滤波、频谱分析

• 现代优化理论

  • 凸优化的对偶理论：拉格朗日对偶、KKT条件
  • 随机梯度下降与深度学习：随机优化算法、神经网络基础

第10章 数学物理与交叉建模

• 随机分析

  • 随机过程：布朗运动、鞅过程
  • 伊藤积分与随机微分方程：伊藤公式、随机微分方程的解

• 金融衍生品定价

  • Black-Scholes模型：期权定价公式、风险中性测度
  • 金融市场的数学模型：套利理论、资产定价基本定理

• 生物数学与统计

  • 传染病动力学：SEIR模型、基本再生数
  • 基因组学的隐马尔可夫模型：模型结构、参数估计