游戏开发初等数学基础

凑数图()

立体图形面积体积

1. 立方体（Cube）:

• 表面积公式: $6a^2$ （其中 $a$ 是边长）。
• 体积公式: $a^3$ （其中 $a$ 是边长）。

2. 球体（Sphere）:

• 表面积公式: $4\pi r^2$ （其中 $r$ 是半径）。
• 体积公式: $\frac{4}{3}\pi r^3$ （其中 $r$ 是半径）。

3. 圆柱体（Cylinder）:

• 表面积公式（侧面和两个底面总和）: $2\pi rh+2\pi r^2$ （其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高度）。
• 体积公式: $\pi r^{2}h$ （其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高度）。

4. 锥体（Cone）:

• 表面积公式（侧面和底面总和）: $\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})$ （其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高度）。
• 体积公式: $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ （其中 $r$ 是底面半径，$h$ 是高度）。

5. 圆环（Torus）:

• 表面积公式: $4{\pi }^{2}Rr$ （其中 $R$ 是大半径，$r$ 是小半径）。
• 体积公式: $2{\pi }^{2}R{r}^2$ （其中 $R$ 是大半径，$r$ 是小半径）。

平面图形面积与周长

1. 矩形（Rectangle）:

• 面积公式: $A=l\cdot w$ （其中 $l$ 是长度，$w$ 是宽度）。
• 周长公式: $P=2(l+w)$ （其中 $l$ 是长度，$w$ 是宽度）。

2. 正方形（Square）:

• 面积公式: $A=a^2$ （其中 $a$ 是边长）。
• 周长公式: $P=4a$ （其中 $a$ 是边长）。

3. 圆（Circle）:

• 面积公式: $A=\pi r^2$ （其中 $r$ 是半径）。
• 周长公式: $P=2\pi r$ （其中 $r$ 是半径）。

4. 三角形（Triangle）:

• 面积公式: $A=\frac{1}{2}bh$ （其中 $b$ 是底边长，$h$ 是高度）。
• 周长公式: $P=a+b+c$ （其中 $a$、$b$、$c$ 是三边长度）。

5. 梯形（Trapezoid）:

• 面积公式: $A=\frac{1}{2}(a+b)h$ （其中 $a$ 和 $b$ 是上下底边长，$h$ 是高度）。
• 周长公式: $P=a+b+c+d$ （其中 $a$、$b$、$c$、$d$ 是各边长度）。

6. 圆环（Annulus）:

• 面积公式: $A=\pi (R^2-r^2)$ （其中 $R$ 是外圆半径，$r$ 是内圆半径）。
• 周长公式: $P=2\pi (R+r)$ （其中 $R$ 是外圆半径，$r$ 是内圆半径）。

三角函数

1. 两角相加的三角函数公式：

• $\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$
• $\cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B)$
• $\tan (A+B)=\frac{\tan (A)+\tan (B)}{1-\tan (A)\tan (B)}$

2. 两角差的三角函数公式：

• $\sin (A-B)=\sin (A)\cos (B)-\cos (A)\sin (B)$
• $\cos (A-B)=\cos (A)\cos (B)+\sin (A)\sin (B)$
• $\tan (A-B)=\frac{\tan (A)-\tan (B)}{1-\tan (A)\tan (B)}$

3. 二重角的三角函数公式：

• $\sin (2A)=2\sin (A)\cos (A)$
• $\cos (2A)={\cos }^2(A)-{\sin }^2(A)=2{\cos }^2(A)-1=1-2{\sin }^2(A)$
• $\tan (2A)=\frac{2\tan (A)}{1-{\tan }^2(A)}$

4. 半角的三角函数公式：

• $\sin \left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (A)}{2}}$
• $\cos \left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (A)}{2}}$
• $\tan \left(\frac{A}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (A)}{1+\cos (A)}}$

5. 和差化积公式：

• $\sin (A)\sin (B)=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$
• $\cos (A)\cos (B)=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$
• $\sin (A)\cos (B)=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B)]$

6. 和差化积公式的反函数：

• $\sin (A+B)=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\sin (A-B)=2\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)$
• $\cos (A+B)=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\cos (A-B)=-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$

向量

1. 向量加法和减法：

• 加法公式：对于两个向量 $\mathbf{a}(x_1,y_1)$ 和 $\mathbf{b}(x_2,y_2)$，它们的和为 $\mathbf{c}(x_1+x_2,y_1+y_2)$，即 $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$。
• 减法公式：对于两个向量 $\mathbf{a}(x_1,y_1)$ 和 $\mathbf{b}(x_2,y_2)$，它们的和为 $\mathbf{c}(x_1-x_2,y_1-y_2)$，即 $\mathbf{c}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$。

2. 向量数量乘法：

• 数乘公式：对于向量 $\mathbf{a}$ 和标量 $k$，$k$ 乘以向量 $\mathbf{a}$ 的每个分量，即 $k\mathbf{a}$，得到一个新的向量。

3. 点积（内积）：

• 点积公式：对于两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的点积为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos (\theta )$，其中 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$ 分别是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长，$\theta$ 是它们之间的夹角。
• 性质：
  • 对于平行向量，点积为正，$\cos (\theta )=1$。
  • 对于垂直向量，点积为零，$\cos (\theta )=0$。
  • 点积具有交换律：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$。
  • 点积具有分配律：$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$。
• 用途:

  • 计算夹角：点乘可用于计算两个向量之间的夹角。具体地，两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的点乘 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 等于它们的模长之积与夹角的余弦值的乘积：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos (\theta )$。这可用于判断两个向量的相对方向，例如是否平行、垂直或是在一般的夹角。

  • 投影：点乘可用于计算一个向量在另一个向量上的投影。通过将一个向量 $\mathbf{a}$ 投影到另一个向量 $\mathbf{b}$ 上，可以得到 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的分量，其大小为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}/|\mathbf{b}|$。

  • 工作、能量和功率：点乘在物理学中用于计算力和位移之间的功和能量。力在方向上的分量乘以位移等于所做的功。

4. 叉积（外积）：

• 叉积公式：对于两个三维向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的叉积 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 的计算方式如下：

  a × b = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} a×b= ​ia1​b1​​ja2​b2​​ka3​b3​​ ​
  其中,ijk分别表示xyz三个轴的基本单位向量，通常我们并不关注。

  这可以通过展开行列式来计算，结果是一个新的向量，其分量为 $c_1$、$c_2$ 和 $c_3$。

• 分量计算：根据行列式展开，$c_1$、$c_2$ 和 $c_3$ 分别计算如下：

  $c_1=a_2{b}_3-a_3{b}_2$
  $c_2=a_3{b}_1-a_1{b}_3$
  $c_3=a_1{b}_2-a_2{b}_1$

• 性质：

  • 叉积的结果是垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的向量。
  • 叉积的模长等于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形的面积。
  • 叉积具有反交换律：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$。
  • 叉积具有分配律：$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$。

• 作用：

  • 法向量：叉乘可用于计算平面上三个点或三个向量所确定的平面的法向量。对于两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的叉乘 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$，结果是一个垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 平面的向量，其方向遵循右手定则。

  • 面积：叉乘的模长等于两个向量所张成的平行四边形（或平行四边形的面积）的面积。这在计算几何学中非常有用。

  • 角动量和扭矩：在物理学和工程学中，叉乘用于计算角动量和扭矩（力矩）。角动量是物体旋转时的动力学性质，而扭矩用于描述力对物体的旋转作用。

  • 电磁学中的洛伦兹力：在电磁学中，洛伦兹力的计算涉及电荷、电场和磁场之间的叉乘关系。

  • 在图形学中判断点是否在三角形内，点在三边左侧(与A/B/C P叉乘)
    

右手定则

a. 伸开你的右手，将大拇指、食指和中指垂直伸出，使它们呈 90 度角。

b. 让大拇指指向第一个输入向量 $\mathbf{a}$ 的方向。

c. 让食指指向第二个输入向量 $\mathbf{b}$ 的方向。

d. 你的中指所指向的方向就是结果法向量 $\mathbf{n}$ 的方向。

e. 方向的确定是根据右手的构型而来，所以它遵循右手定则。

5. 混合积（三重积）：

• 混合积公式：对于三个向量 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$，它们的混合积为 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$。混合积表示了这三个向量所构成的平行六面体的有向体积。
• 性质：
  • 混合积的绝对值等于平行六面体的体积。
  • 混合积可以用来判断三个向量是否共面，如果混合积为零，它们共面。