Probabilistic Robotics 概率机器人 课后习题

修正了原文的一些错误

第二章习题

1.

机器人使用一个可以测量 0～3m 距离的传感器。为了简化，假定真实的距离在这个范围中均匀分布。很不幸的是，传感器会坏掉。当传感器故障时，不管传感器的锥形测量范围内实际测距结果应该是多少，其输出测距值均小于 1m 已知对于传感器故障的先验概率是 。

设想机器人查询了 N 次传感器，每次测量值都小于 1m 。对于 N=1, 2, …, 10 的传感器故障的后验概率是多少？用公式表示相关的概率模型。

答：传感器故障状态为X（良好 0 , 故障 1 ），

测量值为Z

传感器故障的后验概率为：

传感器在每多接受一次小于1的测量值时，都更有可能故障了，需要更新传感器故障的后验概率，而不再是恒定的先验概率。

N=1时，

更新传感器故障的概率

N=2时，

更新传感器故障的概率

...

2.

设想住在一个白天天气为晴、多云或者雨的地方。天气转移函数是如下的转移表所示的马尔可夫链：

今天是\明天是	1晴	2多云	3雨
1晴	0.8	0.2	0
2多云	0.4	0.4	0.2
3雨	0.2	0.6	0.2

(a) 设第1天是晴 (Day1 = sunny)，接下来第 2 天是多云、第 3天是多云、 第 4 天是雨天 (Day2 = cloudy、 Day3 = cloudy、 Day4 = rainy) 的概率是多少？

X=1,2,3(晴，多云，雨)

全概率公式

接下来一天晴的概率 = 晴转晴概率 * 前一天晴的概率 +多云转晴概率*前一天多云的概率+雨转晴的概率*前一天雨的概率

(b) 根据这个状态转移函数写出一个能随机产生“天气”序列的仿真器。

初始值

维护前一天三种天气情况的概率

利用全概率公式求今天三种天气情况的概率

迭代下去

迭代到平稳分布

这里我做了一个仿真，三个数字分别是每天晴天，多云和雨天的概率，可以看到10天之后基本上已经保持不变了

mujl07PFxZ.png

(c) 使用你的仿真器确定这个马尔可夫链的平稳分布。平稳分布衡量任意一天是晴、多云或雨的概率。

以上是个时齐马尔科夫链和状态转移矩阵 T

一直迭代下去，非周期的马尔科夫链的状态的概率不再变化。与初始值无关，

平稳分布

平稳分布是状态转移矩阵的特征向量

(d) 你能制定一个闭式方案来根据上面的状态转移矩阵计算平稳分布吗？

平稳分布是状态转移矩阵的特征向量

(e) 平稳分布的墒是多少？

(f) 利用贝叶斯准则，计算给定今天天气时昨天天气的概率表。提供数值概率即可，可以依赖本练习中前面间题的结果。

贝叶斯准则：

这里分母少乘了个先验

(g) 假设将季节加入到该模型中。上面的状态转移函数仅能应用于夏天， 而不同的模型将应用于冬天、春天和秋天。这会扰乱这个过程的马尔可夫特性吗？解释你的答案。

马尔科夫特性指已知当前状态情况下，过去事件与未来相互独立。这一时刻的状态只与上一时刻有关，与再之前时刻无关。

如果加入季节，只会影响状态转移矩阵，仍然保持马尔科夫性。

3.

假设不能直接观测天气，但是可以依靠传感器。间题是传感器本身是有噪声的。其测量受到下面的测量模型控制：

实际天气是\传感器观测到	晴	多云	雨
晴	0.6	0.4	0
多云	0.3	0.7	0
雨	0	0	1

(a) 设第 1 天是晴（这是一个已知事实），传感器观测到的接下来的 4 天为 多云、多云、雨、晴，则第 5 天用传感器预测为晴的概率是多少？

(b) 再一次，假定已知第 1 天是晴。在第 2～4 天，传感器测量为晴、晴、 雨。对第 2～4 天，当天最可能的天气是怎样的？用两种方式回答问题：一种是只有讨论那天的数据是可用的；另一种是基于后见之明的，未来几天的数据也是可用的。

(c) 考虑同一种情况（第 1 天晴，第 2～4 天的测量分别是晴、晴、雨）。 对第 2～4 天的天气最有可能是什么样的？这个最可能序列的概率是多少？

4.

在这个练习中将把贝叶斯准则应用到高斯情况。假设是一个位于长直道路上的移动机器人。位置 x 将是简单地沿着这条路的某个位置。现在假设最初，认为位置 ，但碰巧知道这个估计是不确定的。基于这种不确定性， 用高斯建立方差为 的初始置信度模型。

为了得到关于位置的更多信息，查询一个 GPS 接收器。 GPS 告诉位置是 。已知该 GPS 接收器的误差方差为 。

(a) 写出先验 和测量 的概率密度函数。

(b) 使用贝叶斯准则，后验 是多少？你能证明它是一个高斯分布吗？

(c) 测量 怎样得出先验和 GPS 接收器的误差概率信息？

线索：这是一个处理二次表达式的练习。

5.

由式 (2.17) 推导式 (2.18) 和式 (2.19), 以及本书叙述的概率法则。

以其他变量 为条件的相互独立的随机变量条件联合概率定律:

(2.17)

这种关系被称为条件独立 (condition independence) 。

(2.18)

(2.19)

6.

证明式 (2. 25) 。这个等式的意义是什么？

X的协方差

(2.25)