线性代数的一些小细节

1 .矩阵的满足结合律，但不满足交换律

验证和证明如下图：

如下，UWQ三个矩阵的2种结合，证明矩阵乘法满足结合律

下图中，AB 和BA的值可能是不同的（相同的条件是图中相互对应的4项相同，即对称矩阵）

2. 对称矩阵A（也可以不是对称矩阵）求对角阵或特征值。正数的特征值的个数就是正惯性指数，负数的特征值个数就是负惯性指数。实对称矩阵的特征向量线性无关，并且正交，即AQ=QLamda，其中Lamda是对角矩阵，即A= QBQ^(-1)（Q ^(-1)为Q的逆矩阵），此定理成为谱定理。正定矩阵的含义来自于其性质：对于任意向量x, x ^ t* Ax >0, 该性质的证明，即如果二次型的可以化为标准型，则其值必然大于0。另外，因为x ^t * lamdax > 0，所以 x ^ tAx > 0，其中lamda是A的任意特征向量。

3. 合同：就是两个矩阵有相同的正负惯性指数。在实数域上，只要两个矩阵的正负惯性指数相同，即可以认为两个矩阵存在合同。这是非常重要的判别的一句话！