离散数学-第一次期末考试复习

命题逻辑

1. 命题是表达判断的陈述句。疑问句、祈使句和感叹句等都不是命题；
2. 多美的校园啊！–不是命题，虽然表示校园很美是真命题，但不是陈述句；
3. 他正在说谎。–“说谎者悖论”，不是命题；
4. 那个商店已经关门了。–是命题，尽管关门具有二义性，但本质上有唯一确定的真值；
5. 1+101=110 --在二进制中为真，否则为假，在确定的上下文环境中它也是命题；
6. 析取联结词‘∨’注意是可兼或还是不可兼或；
7. 条件联结词’→‘的表述方式有：“若P，则Q”、“如果P，那么Q”、“P是Q的充分条件”、“Q是P的必要条件”、“只要P，就Q”、“P仅当Q”、“只有Q，才P”；
8. 双条件联结词’↔‘的表述方式有：“P当且仅当Q（简记为P iff Q）”、“P的充分必要条件是Q”。P除非Q这样的表达式需要双条件联结词表示：P↔(﹁Q)；
9. 进行推理时，要知道条件和结论不一定有内在联系；
10. 联结词优先级比较：’﹁’ > ‘∧’ > ‘∨’ > ‘→’ > ‘↔’ 。右括号的先分析括号里的；
11. “不可兼或” 符号化：(P∨Q)∧﹁(P∧Q)或是(P∧﹁Q)∨(﹁P∧Q).
12. 证明A↔B：先证明必要性，A→B；再证明充分性B→A。
13. 注意主析取范式和主合取范式的结果可以说是互补的
14. 求范式中，遇到某一项缺少某个命题，则可通过P <=> P ∨(Q∧ㄱQ) 或者P <=> P∧(Q∨ㄱQ)来增加。

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谓词逻辑

1. 在原子命题中，用以刻画一个个体的性质或几个个体之间的关系的成分称为谓词；
2. 函词：一个以论域D为定义域和值域的函数。例：有命题“张华的哥哥和我是同班同学”。令 a 表示”张华“，b 表示“我”，f(x)表示“ x 的哥哥”,
   P(x,y)表示“x,y是同班同学”，则命题表示为P(f(a),b).函词不是命题函数，毕竟表示的不是谓语，而命题函数是针对谓词来讲的；
3. 用特性谓词来限定个体变元的变化范围时，须遵循：(1) 对全称量词，此特性谓词作为条件式的前件；(2) 对存在量词，此特性谓词作为合取式的合取项；
4. 谓词公式中，如果没有自由变元出现，则该公式就成为一个命题；
5. 当多个量词具有相同的作用域时，量化的次序往往是不能颠倒的，否则将于原命题的意义不符
6. 一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末端，则该公式叫做前束范式(Prenex Normal Form)

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一道习题

• 题目：用两个谓词符号化下述三条关于自然数的公理
  ①：每个数都有一个唯一的直接后继；
  ②：没有一个数以0为直接后继；
  ③：每个不等于0的数都有一个唯一的直接前趋。

解：一定需要一个特性谓词来限制论域，因此定义A(x) 表示 x是个自然数; “唯一一个后继”，需要表示唯一，故定义B(x,y) 表示x=y；那还有一个问题，后继怎么表示？a是个后继怎么表示？题目中给了限制，要求用两个谓词。因此，这里用函词f(x)=x+1 表示x的后继，这个原理跟上边知识点第 2 条类似。
①：每个数都有一个唯一的直接后继。即如果x是个自然数，那么x有且仅有一个直接后继。我们先初步符号化为 ∀x(A(x) → ∃!y (A(y) ∧E( f(x),y )))。
但是这里的 y 是 x 的后继用 y=x 的后继来表示。∃!y表示有且仅有一个，但只能作为帮助我们思考的中间过程，不能作为最后结果。因此，继续符号化：∃!y(A(y) ∧E( f(x),y )) <=> ∃y ( A(y)∧E(f(x),y) ∧ ∀t ( A(t)∧E(f(x),t) → E(t,y) ) )。含义是除了 y ，如果另外还有一个 t 也满足t是自然数，且f(x)=t,那么t = y，即可表示t 与y 相同，x只有一个后继了。
因此答案为：∀x( A(x)→∃y ( A(y)∧E(f(x),y) ∧ ∀t ( A(t)∧E(f(x),t) → E(t,y) ) ) ）。
PS：这个老师看卷的时候可能会看最后的右括号的数量。
第②③问同理，以下给出答案：
②ㄱ∃x (A(x)∧E(f(x),0)) PS:这个注意一下，“没有一个数… ” 这个否定是最后加上的；
③∀x( A(x)∧ㄱE(x,0) → ∃y ( A(y)∧E(f(y),x) ∧ ∀t ( A(t)∧E(f(t),x) → E(t,y) ) ) ) PS:该题思路同第①题，只不过是 x 的前驱用 E(f(y),x) 即"y的后继是x" 来表示了。

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图论

图论那么重要当然是都要好好看看。

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昨天考完了，考试形式十分新颖，能想到的人百里挑一，想到的又确定的竟无一人。老师厉害。