剑指offer(42-连续子数组的最大和) 题解

剑指offer-42-连续子数组的最大和

微信搜索【程序员画工师】关注更多Java编程技术、数据结构与算法、面试题相关内容。

题目

输入一个整型数组，数组里有整数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组组成一个子数组。求所有子数组和的最大值。要求时间复杂度为o(n)。

思路

最容易想到的方法就是枚举数组的所有子数组并求出它们的和。一个长度为n的数组，总共有n(n+1)/2个子数组。计算出所有子数组的和，最快也要o(n2)的时间。不符合题意。
分析数组规律可得:
1、从头到尾逐个累加数组中的每个数字，初始化和为0；（sum =0，GreatSum=array[0]） 　　
2、首先加上第一个数字，从第二个数字开始累加，依次将累加和保存到一个临时变量（sum）中；　　
3、如果当前累加和（sum）小于0，那抛弃前面的子数组和，从下一个数字开始重新累加；相反，则将当前累加和（sum）与返回累加和（GreatSum）进行比较，如果sum>GreatSum，则更新GreatSum。　　
这样比较进行一次遍历之后，就可以得到最终的最大累加和，时间复杂度是O(n)。
下图展示了计算数组{1,-2,3,10,-4,7,2,-5}中子数组的最大和的过程：

上代码

public class Solution {
    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        if(array.length <= 0){
            return 0;
        }
        int sum = 0;
        int GreatSum = array[0];    //数组中全为负数的情况
        for(int i = 0;i<array.length;i++){
            if(sum <= 0){
                sum = array[i];
            }else{
                sum += array[i];
            }
            if(sum > GreatSum){
                GreatSum = sum;
            }
        }
        return GreatSum;
    }
}

思考

在对GreatSum变量进行初始化的时候，并没有初始化为0，而是初始化为数组的第一个数字，是为了避免当数组全为负数的情况。

思路2 动态规划法

除了上面的解法，我们还可以用动态规划的思想来分析这个问题。如果用函数f(i)表示以第i个数字结尾的子数组的最大和，那么我们需要求出max[f(i)]，其中0 <= i <= n。由状态转移方程ａ［ｊ］＝Ｍａｘ（ａ［ｊ］，ａ［ｊ－１］＋ａ［ｊ］），我们可以用如下递归公式求f(i)：

f(i) = pData[i] i = 0或者f(i-1) <= 0

f(i) = f(i-1) + pData[i] i 不等于 0并且f(i-1) > 0

这个公式的意义：

当以第i-1个数字结尾的子数组中所有数字的和小于0时，如果把这个负数与第i个数累加，则得到的结果比第i个数字本身还要小，所以这种情况下以第i个数字结尾的子数组就是第i个数字本身。

如果以第i-1个数字结尾的子数组中所有数字的和大于0，则与第i个数字累加就得到以第i个数字结尾的子数组中所有数字的和。

虽然通常我们用递归的方式分析动态规划的问题，但最终都会基于循环去编码。

上述公式对应的代码与前面给出的代码类似。递归公式中的f(i)对应的变量是“累加子数组和”sum，而max[f(i)]就是“最大子数组和”GreatSum。因此，可以说这两种思路是异曲同工的。

References

[1] 《剑指offer(第二版)》 何海涛著

程序员画工师公众号，获取更多详细Java、Python、C、前端、小程序、产品相关学习资料，欢迎交流