斐波那契数列

定义

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）

直观的递归解法

直接根据数学递推公式可写出
public static int fib(int n) {
        if (n < 1) return 0;
        if (n == 1 || n == 2)
            return 1;
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }

自顶向下的备忘录

public static int fib2(int n) {
    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1 || n == 2)
        return 1;
    int[] memo = new int[n + 1];
    memo[1] = 1;
    memo[2] = 1;
    return fib2(n, memo);
}

private static int fib2(int n, int[] memo) {
    if (memo[n] == 0) {
        memo[n] = fib2(n - 1, memo) + fib2(n - 2, memo);
    }
    return memo[n];
}

自底向上的备忘录

public static int fib3(int n){
    if (n < 1) return 0;
    if (n == 1 || n == 2)
        return 1;
    int[] memo = new int[n + 1];
    memo[1] = 1;
    memo[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        memo[i] = memo[i-1]+memo[i-2];
    }
    return memo[n];
}

空间优化

public static int fib4(int n) {
   if (n < 1) return 0;
    if (n == 1 || n == 2)
        return 1;
    int a = 1,b = 1;
    int ret = a+b;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        ret = a+b;
        a =b;
        b = ret;
    }
    return ret;
}