2018-01-31 特征值 特征向量

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https://zh.wikipedia.org/wiki/特征值和特征向量

在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的矩阵{\displaystyle A}

，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量或本征向量）{\displaystyle v}

 经过这个线性变换[1]之后，得到的新向量仍然与原来的{\displaystyle v}

 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即

{\displaystyle Av=\lambda v}

，

{\displaystyle \lambda }

為純量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称{\displaystyle \lambda }

 为其特征值（本征值）。如果特徵值為正，则表示{\displaystyle v}

 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特徵值為負，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述，也就是說：所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如{\displaystyle \textstyle E_{\lambda }=\{u\in V\mid Au=\lambda u\}}

 即為線性變換{\displaystyle A}

 中以{\displaystyle \lambda }

 為特徵值的特徵空間。

这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外，甚至在一些非线性的情况下，这些概念都是十分重要的。

「特征」一詞譯自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一詞可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。

特征值与特征向量。在{\displaystyle A}

变换的作用下，向量{\displaystyle \xi }

仅仅在尺度上变为原来的{\displaystyle \lambda }

倍。称{\displaystyle \xi }

是A的一个特征向量，{\displaystyle \lambda }

是对应的特征值。

图1.当蒙娜丽莎的图像左右翻转时，中间垂直的红色向量方向保持不变。而水平方向上黄色的向量的方向完全反转，因此它们都是左右翻转变换的特征向量。红色向量长度不变，其特征值为1。黄色向量长度也不变但方向变了，其特征值为-1。橙色向量在翻转后和原来的向量不在同一条直线上，因此不是特征向量。