极坐标求解的二重积分适合特征

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✅ 适合转换为极坐标求解的二重积分

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1. 积分区域与圆形、扇形或环形相关

• 圆形区域：如

  $$x^2+y^2\le R^2\text{或}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le R^2\text{（需平移后简化）}$$

• 扇形或环形区域：如

  $$0\le r\le R,\alpha \le \theta \le \beta \text{或}{R}_1\le r\le R_2$$

• 对称区域：关于原点对称的区域（如四象限对称）

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2. 被积函数含 $x^2+y^2$ 或相关形式

• 例如：

  • $f(x^2+y^2)$
  • $\frac{y}{x}$（即 $\tan \theta$）

• 常见被积函数：

  • $e^{-x^2-y^2}=e^{-r^2}$
  • $\sqrt{x^2+y^2}=r$
  • $\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{r^2}$（注意原点奇点）

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3. 极坐标变换公式

• 变量替换：

  $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

• 面积微元：

  $$\mathrm{d}A=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

• 积分转换公式：

  $${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}{\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

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4. 典型例子

• 圆形区域积分：

  $${\iint }_{x^2+y^2\le 4}\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}A\Rightarrow {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2}r\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

• 环形区域积分：

  $${\iint }_{1\le x^2+y^2\le 9}{e}^{-x^2-y^2}\mathrm{d}A\Rightarrow {\int }_0^{2\pi }{\int }_1^3{e}^{-r^2}\cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

• 扇形区域积分：

  $${\iint }_{0\le \theta \le \pi /4,0\le r\le a}\frac{y}{x}\mathrm{d}A\Rightarrow {\int }_0^{\pi /4}{\int }_0^a\tan \theta \cdot r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

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5. 不适用极坐标的情况

• 积分区域为矩形（如 $[a,b]\times [c,d]$）
• 被积函数不含 $x^2+y^2$ 或角度项，且区域边界非圆形

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✅ 总结

当积分区域或被积函数与极坐标的自然对称性（如圆形、环形）匹配时，极坐标能显著简化计算。转换后注意：

• 正确表示 $r$ 的积分限（可能依赖 $\theta$）
• 不要遗漏雅可比行列式项 $r$

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如需具体题目分析，可提供积分表达式和区域描述，我可以进一步演示转换步骤。