复数的指数形式：MATLAB演示

复数的指数形式：MATLAB演示

复数在工程和科学计算中无处不在，而指数形式（又称极坐标形式）是表示和处理复数的一种强大方式。本文将介绍复数的指数形式表示法，并展示如何使用MATLAB进行相关计算和可视化。

复数的基础回顾

复数通常表示为：
$z=a+bi$
其中：

• $a$ 是实部
• $b$ 是虚部
• $i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$

复数的指数形式

复数还可以表示为指数形式：
$z=r{e}^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

其中：

• $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 是模（绝对值）
• $\theta =\text{atan2}(b,a)$ 是幅角（相位角）

这个表示法基于欧拉公式：
$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

MATLAB中的复数表示

在MATLAB中，复数可以直接表示：

z = 3 + 4i;  % 创建一个复数

或者使用复数函数：

z = complex(3, 4);  % 等价于3 + 4i

转换为指数形式

我们可以计算模和幅角：

r = abs(z);      % 计算模
theta = angle(z); % 计算幅角（弧度）

MATLAB中可以使用polarplot函数可视化：

polarplot([0 theta], [0 r], '-o');
title('复数在极坐标下的表示');

从指数形式恢复直角坐标形式

$a=r\cos \theta$
$b=r\sin \theta$
$z=a+bi$

MATLAB实现：

a = r * cos(theta);  % 实部
b = r * sin(theta);  % 虚部
z_recovered = a + b*1i;

MATLAB演示示例

figure;
subplot(1,2,1);
hold on
quiver(0, 0, real(z), imag(z), 0, ...
    'b-.', 'LineWidth', 2,'MaxHeadSize',0.4); % 绘制 z1 的向量
plot(real(z), imag(z), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
xlim([0 2]); ylim([0 2]);
grid on;
xlabel('实部'); ylabel('虚部');
title('直角坐标表示');
hold off

subplot(1,2,2);
polarplot([0 theta], [0 r], '-o');
title('极坐标表示');

% 验证欧拉公式
fprintf('直角坐标形式: %.4f + %.4fi\n', real(z), imag(z));
fprintf('指数形式恢复: %.4f + %.4fi\n', r*cos(theta), r*sin(theta));

运行结果：

复数运算的指数形式优势

1. 乘法：
   $z_1\cdot z_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

z1 = 2*exp(1i*pi/4);
z2 = 3*exp(1i*pi/6);
z_product = z1 * z2;  % 6*exp(1i*(pi/4+pi/6))

2. 除法：
   $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$

z_quotient = z1 / z2;  % (2/3)*exp(1i*(pi/4-pi/6))

3. 幂运算：
   $z^n=r^n{e}^{in\theta }$

n = 3;
z_power = z1^n;  % 2^n * exp(1i*n*pi/4)

应用实例：旋转操作

复数乘法可以表示旋转：
$z_{\text{rotated}}=z\cdot e^{i\alpha }$

% 原始复数
z = 2 + 1i;

% 逆时针旋转45度（π/4弧度）
rotation = exp(1i*pi/4);
z_rotated = z * rotation;

% 可视化
figure;
compass(real(z), imag(z), 'r'); hold on;
compass(real(z_rotated), imag(z_rotated), 'b');
legend('原始复数', '旋转后复数');
title('复数旋转演示');

运行结果：

结语

复数的指数形式 $z=r{e}^{i\theta }$ 不仅提供了复数的一种简洁表示，还大大简化了许多运算。通过MATLAB的可视化和计算功能，我们可以更直观地理解复数运算的几何意义。