定积分的应用(4.35-4.38)

前言

定积分的应用，虽然说就是套公式，做计算，但是公式真的能记住吗，计算真的能算出来结果吗？我想要写三本练习题，但是现在我写例题都比较费劲，理论上来说，假设这块的知识点掌握得非常好，做练习题是提升熟练度，并且是写得非常快速的，我认为应试也有“凡有的，还要加给他叫他多余；没有的，连他所有的也要夺过来”这种马太效应。目前先把积分的例题写完，然后把极限，一元微分，不定积分，定积分的例题全部整理一遍（假设熟练的后话，后期的速度会越来越快，现在多投入一些时间是没有问题的），然后写常微分方程的例题和习题。然后写 660 的积分，常微分方程的题。等中值定理全部学完的时候，要把 660 的极限，微分，积分，微分方程，也就是前面四章写完，目前把前面两章写完了，部分改错还在进行中。我发现 1000 和 660 的章节顺序有些差异。等高数基础全部复习完再写 1000 好了。现在就只写讲义，800 和 660.今天是四月五号，争取四月底之前把这三本书的高数部分写完。并且做到随便抽上面的一道题都能迅速做出来。关键就是熟练度和计算能力。

求平面图形的面积

4.35

直接求定积分就是面积。定积分在 $x$ 轴上方就是表示面积。曲线让纵坐标为零就可以求积分下限，然后连续用两次分部积分就可以求出答案。但是我还是没有检查，算完就直接对答案了。感觉还是不行，得算完然后检查一遍，能拿到的分数一定要尽可能拿到。

4.36

$\sqrt{x}$ 的图形有点不太会画。描点应该能把大概形状画出来。但是这个太常用了，我得找一下然后记住。这实际上是第一章极限的预备知识。这题真的呵呵了。我最开始计算错误。没看答案自己意识到了，然后重新算了一遍，然后一边计算，一边检查，最后终于算对了，也不是算对了，就是没有计算错误，但是式子列错了，计算过程再正确也不行啊。审题是说要和 $x$ 轴所围成的面积。一个填空题是五分，非常高的价值。

需要把大概的图形绘制出来，然后求出交点，使得 $y=0$ 的点，然后可以任意选择积分变量来解题。积分区间可能不一样。假设积分变量选择 $y$ ，那么被积函数需要表示为 $y$ 的函数，并且，是要把图形逆时针旋转九十度来看，到底哪个被积函数要写在上面。检验的时候还是全部写完再检验比较好，一边算一边检验不记得检验到哪一步了。尽可能让计算准确一些，一遍就算对。

极坐标

$S=\frac{1}{2}{\int }_a^b{r}^2(\theta )d\theta$,另一个公式是 $S^{\prime }=\frac{1}{2}{\int }_a^b[r_2^2(\theta )-r_1^2(\theta )]d\theta$

4.37

直接套第一个公式。然后余弦函数是偶数次方，用降幂公式，然后凑微分求得这个定积分。这题的难度还是非常低的。难点可能就是公式是不是记得。

4.38

有点无从下手了。心形线。$r=a(1+cos\theta )$ ，然后画出图形，套公式做计算就好了。积分区间是 $[0,\pi ]$ ，本来是完整的，但是下面是负数，所以只取上半部分，然后算上半部分的两倍就是整个心形线的面积。求积分的技巧就是降幂公式，凑微分，然后计算的时候小心谨慎一些。