信号与系统（15）- 系统的频域分析法：周期信号

系统的频域分析法，是通过傅里叶变换将信号分解为多个正弦函数之和或者积分，由此得到信号的频谱。接着对各个正弦分量求系统对其的响应，进而得到系统对各个分量响应的频谱，最后将各个分量的响应叠加，再求傅里叶反变换，求得最终响应的分析方法。

相比时域分析法，这种方法不需要求解微分方程，以及使用卷积积分计算系统对信号的响应，但是必须要经过傅里叶变换和傅里叶反变换。

这种分析方法只能求解零状态响应或稳态响应，零输入响应仍然要使之前提到的经典法求解。稳态响应是指：周期信号可以是一个无始无终的信号，可以认为在很久以前，这个信号就已经加在系统之上，因此系统已经处于稳定状态，这种稳定状态下系统对信号的响应就是稳态响应。

1. 电系统对周期信号的响应

回顾上一篇内容信号与系统（14）- 正弦稳态响应的求解过程，对于电的稳态响应，可以通过一下步骤求解：

1. 将周期信号分解为傅里叶级数；
2. 求电路系统对各个频率信号作用的一般表达式——$H(j\omega )$，对于电系统来说，这个表达式是通过系统中的阻抗以及电系统定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律等得到，如信号与系统（14）- 正弦稳态响应的求解过程中的第二个例子。
3. 求解系统对各个频率点上信号的响应；
4. 将响应叠加，的到最终的响应。注意这里的响应叠加是时间函数的叠加，而非相量叠加。

举例说明：如下图所示电路，激励为$e(t)=cos(t)+2cos(2t)+1$，$R=1\Omega ，C=1F$，求电容两端的电压响应$u_C(t)$。

解：

1. 将周期信号分解为傅里叶级数

题目中给出的信号已经是分解后的傅里叶级数形式，即
$$e(t)=cos(t)+2cos(2t)+1$$
得到信号的 三个分量，即：
$$\dot{E_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\angle 0^{\circ },\dot{E_2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\angle 0^{\circ },\dot{E_3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\angle 0^{\circ },$$

2. 求电路系统对各个频率信号作用的一般表达式——$H(j\omega )$

由电路图可知，电阻$R$和电容$C$的阻抗分别为：
$$R=1\Omega ,C=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j\omega }\Omega$$
因此
$$\begin{array}{rl}{\dot{U}}_C& =\frac{\frac{1}{j\omega }}{1+\frac{1}{j\omega }}\cdot \dot{E}\\ \Rightarrow H(j\omega )& =\frac{{\dot{U}}_C}{\dot{E}}=\frac{\frac{1}{j\omega }}{1+\frac{1}{j\omega }}\\ & =\frac{1}{1+j\omega }\end{array}$$

3. 求解系统对各个频率点上信号的响应

由通过傅里叶级数分解可知，原信号具有$\omega =1，\omega =2$，以及直流信号$\omega =0$。则系统$H(j\omega )$对这三个频率的响应为：
$$\begin{array}{rl}当\omega =1,& \to H(j1)=\frac{1}{1+j1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\angle -45^{\circ }\\ 当\omega =2,& \to H(j2)=\frac{1}{1+j2}=\\ 当\omega =0,& \end{array}$$