波的时频分析方法——短时傅里叶变换（STFT）变换详解

短时傅里叶变换：理论基础、数学原理与信号分析应用

1. 引言

时频分析是现代信号处理的核心技术之一，旨在同时描述信号在时间和频率域的局部特性。传统的傅里叶变换虽然能够完美描述信号的频域特征，但其全局性质使其无法处理非平稳信号的时变特性。短时傅里叶变换通过引入窗函数的概念，在保持傅里叶变换优良性质的同时，实现了时频域的局部化分析，为非平稳信号处理提供了重要的理论工具。

STFT自1946年由Gabor提出以来，经过几十年的发展，已成为信号处理、通信、语音识别、生物医学工程等领域的重要分析方法。

2. 理论基础与数学框架

2.1 函数空间与内积结构

设 $L^2(\mathbb{R})$ 为实数轴上的平方可积函数空间，配备内积：

$$⟨f,g⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\overline{g(t)}dt$$

其中 $\overline{g(t)}$ 表示 $g(t)$ 的复共轭。相应的范数定义为：

$$\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{⟨f,f⟩}={\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t){|}^{2}dt\right)}^{1/2}$$

2.2 傅里叶变换的局限性

对于函数 $f(t)\in L^2(\mathbb{R})$，其傅里叶变换定义为：

$$\hat{f}(\omega )=\mathcal{F}\{f\}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$

傅里叶变换满足Parseval等式：

$$\Vert f{\Vert }_2^2=\frac{1}{2\pi }\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2$$

然而，傅里叶变换的全局性质意味着 $\hat{f}(\omega )$ 包含了信号 $f(t)$ 在整个时间轴上的频率信息，无法提供频率成分的时间局部化信息。

2.3 短时傅里叶变换的数学定义

2.3.1 连续STFT

对于信号 $f(t)\in L^2(\mathbb{R})$ 和窗函数 $w(t)\in L^2(\mathbb{R})$，短时傅里叶变换定义为：

$$V_{w}f(t,\omega )=⟨f,w_{t,\omega }⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\overline{w(\tau -t)}{e}^{-i\omega \tau }d\tau$$

其中 $w_{t,\omega }(\tau )=w(\tau -t)e^{i\omega \tau }$ 为时频平移的窗函数，也称为Gabor原子。

2.3.2 Gabor变换形式

另一种等价定义是Gabor变换形式：

$$G_{w}f(t,\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\overline{w(\tau -t)}{e}^{-i\omega (\tau -t)}d\tau$$

两种定义通过相位因子 $e^{-i\omega t}$ 相关联：

$$V_{w}f(t,\omega )=e^{-i\omega t}{G}_{w}f(t,\omega )$$

2.4 窗函数的数学性质

2.4.1 窗函数的基本要求

有效的窗函数应满足以下条件：

1. 归一化条件： $\Vert w{\Vert }_2=1$
2. 紧支撑或快速衰减： $w(t)$ 在时域具有良好的局部化性质
3. 平滑性： $w(t)$ 及其导数连续，以减少频谱泄漏

2.4.2 常用窗函数的数学表达

1. 高斯窗函数

$$w_{\sigma }(t)={\left(\frac{1}{\pi {\sigma }^2}\right)}^{1/4}\exp \left(-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

高斯窗是唯一同时在时域和频域都达到Heisenberg不确定性下界的窗函数。

2. Kaiser窗函数

$$w_{\beta }(t)=\frac{I_0\left(\beta \sqrt{1-(2t/T{)}^2}\right)}{I_0(\beta )},|t|\le T/2$$

其中 $I_0(\cdot )$ 为第一类零阶修正贝塞尔函数，$\beta$ 为形状参数。

3. Tukey窗函数

$$w_{\alpha }(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left[1+\cos \left(\frac{2\pi }{\alpha T}\left(|t|-\frac{\alpha T}{2}\right)\right)\right]& \frac{\alpha T}{2}\le |t|\le \frac{T}{2}\\ 1& |t|<\frac{\alpha T}{2}\\ 0& |t|>\frac{T}{2}\end{array}$$

2.5 时频分辨率理论

2.5.1 Heisenberg不确定性原理

对于任意函数 $f(t)\in L^2(\mathbb{R})$，其时间和频率的有效宽度满足：

$${\Delta }_{t}f\cdot {\Delta }_{\omega }f\ge \frac{1}{2}$$

其中：

$${\Delta }_{t}f=\sqrt{\frac{\int t^2|f(t){|}^{2}dt}{\int |f(t){|}^{2}dt}-{\left(\frac{\int t|f(t){|}^{2}dt}{\int |f(t){|}^{2}dt}\right)}^2}$$

$${\Delta }_{\omega }f=\sqrt{\frac{\int {\omega }^2|\hat{f}(\omega ){|}^{2}d\omega }{\int |\hat{f}(\omega ){|}^{2}d\omega }-{\left(\frac{\int \omega |\hat{f}(\omega ){|}^{2}d\omega }{\int |\hat{f}(\omega ){|}^{2}d\omega }\right)}^2}$$

2.5.2 STFT的时频分辨率

对于给定窗函数 $w(t)$，STFT的时频分辨率由窗函数的时频特性决定：

• 时间分辨率： ${\Delta }_t={\Delta }_{t}w$
• 频率分辨率： ${\Delta }_{\omega }={\Delta }_{\omega }w$

分辨率矩形的面积为：

$$A={\Delta }_{t}w\cdot {\Delta }_{\omega }w\ge \frac{1}{2}$$

3. 离散化实现与算法

3.1 离散短时傅里叶变换

3.1.1 采样理论基础

设连续信号 $f(t)$ 的采样版本为 $f[n]=f(n{T}_s)$，其中 $T_s$ 为采样间隔。根据Nyquist采样定理，为避免混叠，采样频率应满足：

$$f_s=\frac{1}{T_s}\ge 2f_{\max }$$

其中 $f_{\max }$ 为信号的最高频率成分。

3.1.2 离散STFT定义

离散短时傅里叶变换定义为：

$$X[m,k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]w[n-mH]e^{-j2\pi kn/N}$$

其中：

• $x[n]$ 为离散时间信号
• $w[n]$ 为长度为 $N$ 的窗函数
• $m$ 为时间帧索引
• $H$ 为帧移（hop size）
• $k$ 为频率箱索引
• $N$ 为FFT长度

3.1.3 重叠加窗处理

为保证信号的连续性和减少边界效应，通常采用重叠加窗技术：

$$\text{重叠率}=\frac{N-H}{N}\times 100\%$$

常用的重叠率为50%、75%或87.5%。

3.2 快速算法实现

3.2.1 基于FFT的实现

算法3.1: 离散STFT计算算法
输入: 信号 x[n], 窗函数 w[n], 帧移 H, FFT长度 N
输出: 时频矩阵 X[m,k]

1. 初始化: M = floor((length(x)-N)/H) + 1
2. for m = 0 to M-1:
   3.   提取信号帧: x_frame = x[mH : mH+N-1]
   4.   应用窗函数: x_windowed = x_frame .* w
   5.   零填充(如需要): x_padded = [x_windowed, zeros]
   6.   计算FFT: X[m,:] = FFT(x_padded)
7. 返回 X[m,k]

3.2.2 计算复杂度分析

对于长度为 $L$ 的信号，窗长为 $N$，帧移为 $H$：

• 帧数： $M=\lfloor (L-N)/H\rfloor +1$
• 总FFT次数： $M$ 次
• 每次FFT复杂度： $O(N\log N)$
• 总时间复杂度： $O(M\cdot N\log N)=O(\frac{L}{H}\cdot N\log N)$

3.3 逆变换算法

3.3.1 重叠相加法（OLA）

逆STFT可通过重叠相加法实现：

$$\hat{x}[n]=\frac{{\sum }_{m}w[n-mH]\cdot \text{IFFT}\{X[m,k]\}[n-mH]}{{\sum }_m{w}^2[n-mH]}$$

3.3.2 完美重构条件

为保证完美重构，窗函数和帧移必须满足：

$$\sum _{m=-\infty }^{\infty }w[n-mH]=C\forall n$$

其中 $C$ 为常数。常用的窗函数（如Hann窗）在50%重叠时满足此条件。

4. 窗函数设计与优化

4.1 窗函数设计准则

4.1.1 性能指标

1. 主瓣宽度

窗函数频谱的主瓣宽度决定频率分辨率：

$$B{W}_{\text{main}}=\frac{4\pi }{N}$$

2. 旁瓣抑制比

最大旁瓣与主瓣的比值：

$$PSR=20{\log }_{10}\left(\frac{|W({\omega }_{\text{main}})|}{|W({\omega }_{\text{sidelobe}}{)}_{\max }|}\right)$$

3. 相干增益与处理增益

• 相干增益： $CG=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}w[n]$
• 处理增益： $PG=\frac{{\left({\sum }_{n=0}^{N-1}w[n]\right)}^2}{{\sum }_{n=0}^{N-1}{w}^2[n]}$

4.1.2 优化目标函数

多目标优化问题：

$$\underset{w}{\min }\left\{\alpha \cdot B{W}_{\text{main}}+\beta \cdot PS{R}^{-1}+\gamma \cdot P{G}^{-1}\right\}$$

约束条件：

• $\Vert w{\Vert }_2=1$ （归一化约束）
• $w[n]\ge 0$ （非负性约束）

4.2 自适应窗函数设计

4.2.1 信号自适应窗长

基于信号局部平稳性的窗长自适应算法：

$$L_{\text{opt}}(t)=\arg \underset{L}{\min }\left\{\frac{{\sigma }_{\text{bias}}^2(L)}{{\sigma }_{\text{variance}}^2(L)}\right\}$$

其中偏差-方差权衡通过交叉验证确定。

4.2.2 时变窗函数

对于强非平稳信号，可采用时变窗函数：

$$w_t(\tau )=w(\tau )\cdot g(t,\tau )$$

其中 $g(t,\tau )$ 为时变调制函数。

5. STFT的理论性质

5.1 线性性质

STFT算子 $V_w$ 是线性的：

$$V_w(\alpha f+\beta g)=\alpha V_{w}f+\beta V_{w}g$$

5.2 时频协方差性质

5.2.1 时移性质

$$V_w(T_{\tau }f)(t,\omega )=V_{w}f(t-\tau ,\omega )$$

其中 $T_{\tau }f(t)=f(t-\tau )$ 为时移算子。

5.2.2 频移性质

$$V_w(M_{\Omega }f)(t,\omega )=V_{w}f(t,\omega -\Omega )$$

其中 $M_{\Omega }f(t)=e^{i\Omega t}f(t)$ 为频移算子。

5.3 Plancherel公式

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }|V_{w}f(t,\omega ){|}^{2}dtd\omega =\Vert w{\Vert }_2^2\Vert f{\Vert }_2^2$$

5.4 再现核性质

STFT具有再现核希尔伯特空间结构，其再现核为：

$$K_w((t,\omega ),(t^{\prime },{\omega }^{\prime }))=⟨w_{t,\omega },w_{t^{\prime },{\omega }^{\prime }}⟩$$

6. 性能分析与评估

6.1 时频分辨率评估

6.1.1 瞬时频率估计精度

对于线性调频信号 $s(t)=e^{i({\omega }_{0}t+\alpha t^2/2)}$，STFT的瞬时频率估计偏差为：

$$\Delta {\omega }_{\text{bias}}=\alpha \cdot \frac{\int t^2|w(t){|}^{2}dt}{\int |w(t){|}^{2}dt}$$

6.1.2 频率分辨率极限

两个频率成分 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 的可分辨条件：

$$|{\omega }_1-{\omega }_2|\ge \frac{{\Delta }_{\omega }w}{\sqrt{SNR}}$$

其中 $SNR$ 为信噪比。

6.2 噪声性能分析

6.2.1 噪声方差传播

在加性白高斯噪声环境下，STFT系数的方差为：

$$\text{Var}[V_w(f+n)(t,\omega )]={\sigma }_n^2\Vert w{\Vert }_2^2$$

6.2.2 信噪比改善

窗函数的处理增益提供的SNR改善为：

$$SN{R}_{\text{improvement}}=10{\log }_{10}(PG)\text{ dB}$$

6.3 计算效率评估

6.3.1 内存复杂度

存储时频矩阵所需内存：

$$\text{Memory}=M\times K\times \text{sizeof(complex)}\text{ bytes}$$

其中 $M$ 为时间帧数，$K$ 为频率箱数。

6.3.2 实时处理能力

实时处理的延迟约束：

$$T_{\text{processing}}<H\cdot T_s$$

其中 $T_{\text{processing}}$ 为单帧处理时间。

7. 应用领域与实现

7.1 语音信号处理

7.1.1 语音识别中的特征提取

在语音识别系统中，STFT用于提取梅尔频率倒谱系数（MFCC）：

1. 预加重： $s^{\prime }[n]=s[n]-\alpha s[n-1]$，$\alpha \approx 0.97$
2. 分帧加窗： 帧长25ms，帧移10ms，Hamming窗
3. STFT计算： $S[m,k]=\text{STFT}\{s^{\prime }[n]\}$
4. 功率谱： $P[m,k]=|S[m,k]{|}^2$
5. 梅尔滤波： $F[m,j]={\sum }_{k}P[m,k]H_j[k]$
6. 对数变换： $L[m,j]=\log F[m,j]$
7. DCT变换： $\text{MFCC}[m,i]={\sum }_{j}L[m,j]\cos \left(\frac{\pi i(j+0.5)}{J}\right)$

7.1.2 语音增强算法

基于STFT的谱减法：

$$\hat{S}[m,k]=\left(1-\alpha \frac{{\hat{\sigma }}_n^2[k]}{|Y[m,k]{|}^2}\right)Y[m,k]$$

其中 $Y[m,k]$ 为含噪语音的STFT，${\hat{\sigma }}_n^2[k]$ 为噪声功率谱估计。

7.2 生物医学信号分析

7.2.1 脑电信号（EEG）分析

脑电信号的频带功率计算：

• δ波（0.5-4 Hz）： $P_{\delta }={\sum }_{k\in \delta }|X[m,k]{|}^2$
• θ波（4-8 Hz）： $P_{\theta }={\sum }_{k\in \theta }|X[m,k]{|}^2$
• α波（8-13 Hz）： $P_{\alpha }={\sum }_{k\in \alpha }|X[m,k]{|}^2$
• β波（13-30 Hz）： $P_{\beta }={\sum }_{k\in \beta }|X[m,k]{|}^2$

7.2.2 心电信号（ECG）特征提取

心率变异性（HRV）的频域分析：

• 超低频（ULF）： 0-0.003 Hz
• 极低频（VLF）： 0.003-0.04 Hz
• 低频（LF）： 0.04-0.15 Hz
• 高频（HF）： 0.15-0.4 Hz

7.3 雷达信号处理

7.3.1 线性调频信号检测

对于线性调频（LFM）信号：

$$s(t)=A\exp \left(j2\pi \left(f_{0}t+\frac{\mu t^2}{2}\right)\right)$$

STFT的峰值轨迹为：

$$f_{\text{peak}}(t)=f_0+\mu t$$

7.3.2 多普勒频移估计

运动目标的多普勒频移：

$$f_d=\frac{2v_r{f}_c}{c}$$

其中 $v_r$ 为径向速度，$f_c$ 为载频，$c$ 为光速。

7.4 音频信号分析

7.4.1 音高检测算法

基于STFT的基频估计：

1. 谐波增强： $H[m,k]={\sum }_{h=1}^{H_{\max }}|X[m,hk]|$
2. 峰值检测： $f_0=\arg {\max }_{k}H[m,k]$
3. 轨迹平滑： 使用Kalman滤波平滑基频轨迹

7.4.2 音色分析

音色描述子提取：

• 光谱质心： $SC=\frac{{\sum }_{k}k|X[m,k]{|}^2}{{\sum }_k|X[m,k]{|}^2}$
• 光谱带宽： $SB=\sqrt{\frac{{\sum }_k(k-SC{)}^2|X[m,k]{|}^2}{{\sum }_k|X[m,k]{|}^2}}$
• 光谱滚降： $SR$ 为累积能量达到85%的频率
• 零交叉率： $ZCR=\frac{1}{2N}{\sum }_{n=1}^{N-1}|\text{sign}(x[n])-\text{sign}(x[n-1])|$

8. 与其他时频分析方法的比较

8.1 性能对比分析

方法	时间复杂度	空间复杂度	时间分辨率	频率分辨率	适用场景
FFT	$O(N\log N)$	$O(N)$	无	$f_s/N$	平稳信号
STFT	$O(MN\log N)$	$O(MN)$	$\Delta t_w$	$\Delta f_w$	短时平稳信号
CWT	$O(M{N}^2)$	$O(MN)$	尺度自适应	尺度自适应	多尺度信号
WVD	$O(N^2)$	$O(N^2)$	理论最优	理论最优	单分量信号

8.2 优缺点分析

STFT的优势：

• 线性变换，无交叉项干扰
• 计算效率高，实现简单
• 逆变换存在且稳定
• 时频分辨率固定，易于解释

STFT的局限：

• 时频分辨率受Heisenberg原理限制
• 窗函数选择影响分析结果
• 对宽带信号分析能力有限
• 频率分辨率在所有频段相同

示例代码及解读

示例：使用Python进行STFT并绘制时频图

以下示例代码演示如何使用Python中的librosa和matplotlib库进行STFT计算，并绘制信号的时频图（频谱图）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import librosa
import librosa.display

sr = 8000  # 采样率8000Hz
t = np.linspace(0, 1, sr, endpoint=False)
f1, f2 = 300, 1500  # 两个频率成分300Hz和1500Hz
signal = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t)

# 添加噪声
noise = np.random.normal(0, 0.3, signal.shape)
noisy_signal = signal + noise

# STFT参数
n_fft = 1024  # FFT点数
hop_length = 256  # 帧移
window = 'hann'  # 窗函数

stft_result = librosa.stft(noisy_signal, n_fft=n_fft, hop_length=hop_length, window=window)
stft_db = librosa.amplitude_to_db(np.abs(stft_result), ref=np.max)

plt.figure(figsize=(14, 6))
librosa.display.specshow(stft_db, sr=sr, hop_length=hop_length, x_axis='time', y_axis='hz', cmap='magma')
plt.colorbar(format='%+2.0f dB')
plt.title('信号的时频图（STFT）')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('频率 (Hz)')
plt.tight_layout()
plt.show()