为什么补码比原码多表示一个负数

为什么补码比原码多表示一个负数？

在计算机中，补码（Two’s Complement） 能够比原码（Sign-Magnitude）多表示一个负数的根本原因在于 符号位的权值分配 和 零的唯一表示。以下是详细解释：

---

1. 原码的缺陷

• 零的表示不唯一：原码中，零有两种形式：
  • +0：符号位为 0，数值位全 0（例如 0000）。
  • -0：符号位为 1，数值位全 0（例如 1000）。
• 负数范围对称：若机器字长为 n 位：
  • 原码的负数范围是 (-(2^{n-1}-1)) 到 (-0)。
  • 正数范围是 (+0) 到 (+(2^{n-1}-1))。
  • 总表示范围：(-(2^{n-1}-1) ~ +(2^{n-1}-1))（例如 n=4 时是 -7 到 +7）。

---

2. 补码的优势

• 零的唯一表示：补码中，零只有一种形式（全 0，如 0000），-0 被重新定义为最小负数。
• 符号位参与运算：补码的最高位（符号位）具有 负权值：
  • 对于 n 位补码，符号位的权值是 (-2^{n-1})。
  • 例如 n=4 时，1000 表示 (-2^3 = -8)（而原码中 1000 是 -0）。
• 负数范围扩展：
  • 补码的负数范围是 (-2^{n-1}) 到 (-1)。
  • 正数范围是 (0) 到 (+(2^{n-1}-1))。
  • 总表示范围：(-2^{n-1} ~ +(2^{n-1}-1))（例如 n=4 时是 -8 到 +7）。

---

3. 为什么补码能多表示一个负数？

• 原码的负数范围：
  (-(2^{n-1}-1) ~ -0)（例如 n=4 时是 -7 到 -0，共 7 个数）。
• 补码的负数范围：
  (-2^{n-1} ~ -1)（例如 n=4 时是 -8 到 -1，共 8 个数）。
• 关键区别：
  • 原码的 -0 在补码中被重新定义为 最小负数（如 1000 表示 -8 而非 -0）。
  • 补码通过牺牲一个正数（原码的 +0 和 -0 合并为 0），将 -0 的编码分配给更小的负数。

---

4. 举例说明（n=4）

码制	二进制表示	原码值	补码值
0000	+0	+0	0
0001	+1	+1	+1
...	…	…	…
0111	+7	+7	+7
1000	-0	-0	-8
1001	-1	-1	-7
...	…	…	…
1111	-7	-7	-1

• 原码的 1000（-0）在补码中表示 -8，因此补码比原码多表示一个负数（-8）。

---

5. 数学证明

• 原码的负数总数：
  (2^{n-1}-1)（因为 -0 占一个编码，实际负数从 -1 到 (-(2^{n-1}-1))）。
• 补码的负数总数：
  (2^{n-1})（从 -1 到 (-2^{n-1})）。
• 差值：
  补码比原码多 1 个负数（即 (-2^{n-1})）。

---

6. 实际意义

• 硬件简化：补码统一了加减法运算（无需单独处理符号位）。
• 范围优化：多表示一个负数对科学计算和底层系统更有利（例如数组索引的对称性）。

---

总结

补码通过 唯一表示零 和 符号位负权值 的设计，将原码中浪费的 -0 编码重新分配给最小负数（如 -8），从而比原码多表示一个负数。这是补码成为现代计算机标准表示法的核心原因之一。