CFD中的动量方程非守恒形式详解

在计算流体力学（CFD）中，动量方程可以写成守恒形式和非守恒形式，两者在数学上等价，但推导方式和应用场景不同。以下是对非守恒形式的详细解释：

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1. 动量方程的守恒形式

首先回顾守恒形式的动量方程（以不可压缩流体为例）：
$$\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}\otimes \mathbf{u})=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbf{\tau }+\mathbf{f}$$
其中：

• (\rho) 为密度，(\mathbf{u}) 为速度矢量，
• (p) 为压力，(\boldsymbol{\tau}) 为粘性应力张量，
• (\mathbf{f}) 为体积力（如重力）。

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2. 非守恒形式的推导

非守恒形式通过对守恒形式展开并利用连续性方程得到。步骤如下：

(1) 展开守恒形式的对流项

对流项 (\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u})) 可以展开为：
$$\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}\otimes \mathbf{u})=\rho (\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}+\mathbf{u}\left[\nabla \cdot (\rho \mathbf{u})\right]$$

(2) 代入连续性方程

连续性方程为：
$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{u})=0$$
若流动为不可压缩（(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0)）或定常（(\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0)），则 (\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0)，此时对流项简化为：
$$\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}\otimes \mathbf{u})=\rho (\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}$$

(3) 得到非守恒形式

将展开后的对流项代回守恒形式，并假设密度恒定（(\rho) 为常数），动量方程变为：
$$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbf{\tau }+\mathbf{f}$$
这就是非守恒形式的动量方程（又称Lagrangian形式或物质导数形式）。

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3. 关键特点

1. 物质导数：
   方程左侧的 (\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}) 表示速度的物质导数，描述流体微元的加速度。

2. 适用条件：

   • 适用于不可压缩流动或密度变化可忽略的流动。
   • 若密度变化显著（如可压缩流动），需保留守恒形式以确保数值稳定性。

3. 物理意义：
   非守恒形式直接体现牛顿第二定律（(F=ma)），即流体微元的加速度由压力梯度、粘性力和体积力共同驱动。

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4. 与守恒形式的对比

特性	非守恒形式	守恒形式
数学基础	基于物质导数推导	基于控制体的积分守恒定律
数值稳定性	对可压缩流可能不稳定	更适合可压缩流和高马赫数问题
计算效率	对流项计算更简单	需要处理通量项（如 (\rho u^2)）
适用场景	不可压缩流、低马赫数流动	可压缩流、激波捕捉

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5. 典型应用示例

• 不可压缩流动（如泊肃叶流动、涡流模拟）：常用非守恒形式，因 (\nabla \cdot \mathbf{u} = 0) 天然满足。
• 可压缩流动（如超音速飞行器模拟）：必须使用守恒形式以正确捕捉激波和密度突变。

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6. 注意事项

• 数值离散：非守恒形式在对流项离散时需注意数值耗散，可能需高阶格式（如WENO）减少误差。
• 边界条件：非守恒形式的压力边界条件处理可能更复杂，需与连续性方程耦合求解。

通过理解非守恒形式的推导和物理意义，可以更灵活地选择适合具体问题的CFD方程形式。