Codeforces 379D - New Year Letter

原题地址：http://codeforces.com/contest/379/problem/D

题目大意：给出一种生成字符串的方法 s[k] = s[k - 2] + s[k - 1]，其中加法意为将左右两个字符串直接相连，要求构造两个长度分别为n、m的字串s[1]、s[2]，使得按照这种方法得出的s[k]中恰好含有 x 个 “AC”（意思大家都懂的……）如果无解，输出“Happy new year!”

数据范围：3 ≤ k ≤ 50; 0 ≤ x ≤ 10⁹; 1 ≤ n, m ≤ 100

题目分析：

这道题算法很明确。

先将问题反过来思考：假设给定两个串s[1]、s[2]，用题目中的方法生成s[k]，求出s[k]含有几个“AC”，显然可以用动态规划解决

定义f[k]表示第k个串中含有“AC”的个数，Suf[k]为第 k 个串的结尾字母，Pre[k]为第k个串的开头字母，三个数组的1、2两位都是已知的

显然可以得到动态规划方程 f[k] = f[k - 2] + f[k - 1] + (Suf[k - 2] == 'A') && (Pre[k - 1] == 'C');   Suf[k] = Suf[k - 1];   Pre[k] = Pre[k - 2]

然后搞一搞就得到答案了。那么我们回归这道题，发现可以通过枚举f[1]、f[2]、Suf[1]、Suf[2]、Pre[1]、Pre[2]来DP计算所有可能的f[k],如果找到一组f[1]、f[2]、Suf[1]、Suf[2]、Pre[1]、Pre[2]使得f[k] == x，就按照它们构造两个字符串输出就好了

复杂度分析：每次枚举Pre[1]等等都是三种情况（是A、是C、不是A也不是C），一共枚举4轮，枚举f[1]时不可能超过二分之n，枚举f[2]时也同理，所以枚举的总复杂度是O(3 * 3 * （m / 2） * 3 * 3 * （n / 2）)大约为202500，每次DP都是线性的所以复杂度是O（k）所以总复杂度可以约归为O（nmk)大概在10^7左右勉强不会超时。

剩下的就是细节了，这道题一大堆特殊情况需要判断(比如n , m <= 2啦什么的)，详见代码～

 1 //date 20140120

 2 #include <cstdio>

 3 #include <cstring>

 4 

 5 inline int min(int a, int b){return a < b ? a : b;}

 6 inline int max(int a, int b){return a > b ? a : b;}

 7 

 8 int k, n, m;

 9 long long x;

10 long long f[100];

11 int suf[100], pre[100];

12 

13 void dp(int w)

14 {

15     if(w <= 2)return;

16     if(f[w - 1] == -1)dp(w - 1);

17     if(f[w - 2] == -1)dp(w - 2);

18     f[w] = f[w - 1] + f[w - 2] + ((suf[w - 2] == 1) && (pre[w - 1] == 3));

19     suf[w] = suf[w - 1]; pre[w] = pre[w - 2];

20 }

21 

22 inline void output(int S1, int S2, int P1, int P2, int i, int j)

23 {

24 //    printf("%d %d %d %d %d %d\n", S1, P1, i, S2, P2, j);

25     char ans1[120], ans2[120];

26     memset(ans1, 0, sizeof ans1);

27     memset(ans2, 0, sizeof ans2);

28     ans1[1] = P1 + 'A' - 1;

29     ans2[1] = P2 + 'A' - 1;

30     ans1[n] = S1 + 'A' - 1;

31     ans2[m] = S2 + 'A' - 1;

32 //    printf("%s\n%s\n", ans1 + 1, ans2 + 1);

33     

34     int a1 = 110, a2 = 110;

35     if(i > 0 && ans1[1] == 'A')

36     {

37         ans1[2] = 'C';a1 = 3;

38         for(int q = 1; q < i; ++q){ans1[q * 2 + 1] = 'A'; ans1[q * 2 + 2] = 'C'; a1 = q * 2 + 3;}

39         for(int q = a1; q < n; ++q)ans1[q] = 'B';

40     }

41     else

42     {

43         a1 = 2;

44         for(int q = 1; q <= i; ++q){ans1[q * 2] = 'A'; ans1[q * 2 + 1] = 'C'; a1 = q * 2 + 2;}

45         for(int q = a1; q < n; ++q)ans1[q] = 'B';

46     }

47     if(j > 0 && ans2[1] == 'A')

48     {

49         ans2[2] = 'C'; a2 = 3;

50         for(int q = 1; q < j; ++q){ans2[q * 2 + 1] = 'A'; ans2[q * 2 + 2] = 'C'; a2 = q * 2 + 3;}

51         for(int q = a2; q < m; ++q)ans2[q] = 'B';

52     }

53     else

54     {

55         a2 = 2;

56         for(int q = 1; q <= j; ++q){ans2[q * 2] = 'A'; ans2[q * 2 + 1] = 'C'; a2 = q * 2 + 2;}

57         for(int q = a2; q < m; ++q)ans2[q] = 'B';

58     }

59     printf("%s\n%s\n", ans1 + 1, ans2 + 1);

60 }

61 

62 int main()

63 {

64 //    freopen("d.in", "r", stdin);

65     

66     scanf("%d%I64d%d%d", &k, &x, &n, &m);

67     

68     for(int P1 = 1; P1 <= 3; ++P1)

69         for(int S1 = 1; S1 <= 3; ++S1)

70             for(int P2 = 1; P2 <= 3; ++P2)

71                 for(int S2 = 1; S2 <= 3; ++S2)

72                 {

73                     if(n == 1 && S1 != P1)continue;

74                     if(m == 1 && S2 != P2)continue;

75                     int uLim1 = 0, uLim2 = 0, dLim1 = 0, dLim2 = 0;

76                     uLim1 = max(n / 2 - 1, 0); if((n >= 3) && ((S1 == 3 && P1 == 1) || ((n & 1) && (S1 == 3 || P1 == 1))))++uLim1; 

77                     uLim2 = max(m / 2 - 1, 0); if((m >= 3) && ((S2 == 3 && P2 == 1) || ((m & 1) && (S2 == 3 || P2 == 1))))++uLim2;

78                     if(n == 2 && S1 == 3 && P1 == 1)dLim1 = uLim1 = 1;

79                     if(m == 2 && S2 == 3 && P2 == 1)dLim2 = uLim2 = 1;

80 //                    printf("%d %d %d %d\n", dLim1, uLim1, dLim2, uLim2);

81                     for(int i = dLim1; i <= uLim1; ++i)

82                         for(int j = dLim2; j <= uLim2; ++j)

83                         {

84                             memset(suf, 0, sizeof suf);

85                             memset(pre, 0, sizeof pre);

86                             suf[1] = S1; suf[2] = S2;

87                             pre[1] = P1; pre[2] = P2;

88                             memset(f, 0xFF, sizeof f);

89                             f[1] = i; f[2] = j;

90                             dp(k);

91 //                            printf("%d %d %d %d %d %d %d\n", P1, S1, P2, S2, i, j, f[k]);

92                             if(f[k] == x){output(S1, S2, P1, P2, i, j); return 0;}

93                         }

94                 }

95     

96     printf("Happy new year!\n");

97     return 0;

98 }

小注：希望通过这道题能给我和大家带来更多的新年AC～