Codeforces Round 1009 (Div. 3) G

写在前面

由于最近在做CSP-S的题，又恰好做到了CSP-S 2021的第二题括号序列，于是对于$区间DP$有了一些船新的体悟，刚好可以用在此题上。

题意

给定一个正$n$边形和一个数组$a$，每个点上都有一个权值$a_i$，你可以做以下事情任意次数：选取任意三个不同点$i,j,k$，那么你的得分将增加$a_i\ast a_j\ast a_k$。
但是，需要满足以下几个条件：
1、任意点最多被选中一次。
2、所组成的三角形不能有重合。
求最高得分？

思路

1、此题很容易想到用区间dp解决，原因是区间是独立的，可以直接合并。例如我把正多边形沿着任意一条线分成两部分，这两部分的答案相加一定是小于等于整体的答案的。形式化而言：$DP[L][K]+DP[K+1][R]\le DP[L][R]$（我将这称之为递推表达式，也是区间DP的一般式子）
2、观察题目给的样例解释，其实还会出现另外一种情况：也就是你所选的一个三角形将另外的区间给包含起来了

如图所示，三角形1、2、6三角形3、4、5给包含起来了，这跟我们的递推式有很大的不同。(递推式组成的三角形相互独立)

因此也会想到，我求$DP[L][R]$时，还有另外一种可能：选取$(L,R)$内的任意一点$X$，新增三角形$L、X、R$。那么这个“大的三角形”将区间$(L+1,X-1)$以及$(X+1,R)$给包含起来了。

换句话说：也就是我这个大的三角形并不会和区间$(L+1,X-1)$以及$(X+1,R)$中的三角形形成交集。

我的答案将会变成$DP[L][R]=DP[L+1][X-1]+DP[X+1][R-1]+A[L]\ast A[R]\ast A[X]$

我们将其成为包含式

3、可以发现，合并的过程只会分成包含式跟递推式两种，取最值即可。

4、另外，由于这是个循环数组，因此考虑扩大一倍来变成链求解。（不过好像没有必要）我们最终的答案就是$DP[1][N]$

5、此题跟前文提到的括号序列有些类似，将整个区间的合并分成了很多不同的类，分类讨论是如何合并的，这也是$区间DP$的一个思考方向。

代码

// Problem: G. Game With Triangles: Season 2
// Contest: Codeforces - Codeforces Round 1009 (Div. 3)
// URL: https://codeforces.com/contest/2074/problem/G
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 4000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include 
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define x first
#define y second
#define endl '\n'
const LL maxn = 4e05+7;
const LL N = 5e05+10;
const LL mod = 1e09+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL llinf = 5e18;
typedef pair<int,int>pl;
priority_queue<LL , vector<LL>, greater<LL> >mi;//小根堆
priority_queue<LL> ma;//大根堆
#define int long long
void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int>v(2 * n + 5  , 0);
    for (int i = 1  ; i <= n ; i ++) {
        cin >> v[i];
    }
    for (int i = n + 1 ; i <= 2 * n ; i ++) {
        v[i] = v[i - n];
    }
    int ans = 0;
    vector< vector<int> >dp(2 * n + 5 , vector<int>(2 * n + 5 , 0));
    //分为递推型，包含型
    for (int len = 3 ; len <= n ; len ++) {
    	
        for (int i = 1 ; i + len - 1 <= 2 * n ; i ++) {
            int l = i , r = i + len - 1;
            //递推
			for(int j = l ; j <= r ; j ++){
				dp[l][r] = max(dp[l][r] , dp[l][j] + dp[j + 1][r]);
			}
			//包含
            for (int j = l + 1 ; j < r ; j ++) {
                dp[l][r] = max(dp[l][r] , dp[l + 1][j - 1] + dp[j + 1][r - 1] + v[l] * v[r] * v[j]);
            }        
        }
    }
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
        ans = max(ans , dp[i][i + n - 1]);
    }
    cout << ans << endl;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cout.precision(10);
    int t=1;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}