12 克莱姆法则的几何解释

这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。

线性方程组求解

克莱姆法则并非解线性方程组的最好方法（高斯消元法更好），了解它是为了加深对线性方程组的理解。

图1 线性方程组 只要未知数和方程个数一样，这里所说的方法都适用。为了简单方便，用一个小例子。

对于$$\begin{array}{r}3x+2y=-4\\ -x+xy=-2\end{array}$$
可以把这个方程组看作对[x, y]向量的一个已知的矩阵变换

图2 线性方程组转换为线性变换 变换后的位置已知，变换后的基向量已知。所以问题变成了

哪个输入向量[x, y]在变换后成为了[-4,-2]?

思路1：
我们已知的向量是矩阵列向量的一个线性组合

图3 线性组合求解思路 思路2：

图4 行列式求解 这里注意，我们只考虑行列式不为零的情况。如果为零，可能无解，可能有无数个向量都可以变换到我们的已知向量。

行列式不为零意味着线性变换后维数依然相同。即，每个输入向量仅对应一个输出向量，且每个输出向量也仅对应一个输入向量。

正交变换

不改变点积的变换是正交变换。正交变换使基向量在变换后依然保持单位长度，且相互垂直，没有拉伸、压缩、变形。把正交变换可以想象成刚体运动的旋转。

用正交矩阵求解线性系统非常简单，因为点积不变，所以，已知的输出向量和矩阵的列向量的点积，分别等同于未知输入向量和各基向量的点积。也就是输入向量的每一个坐标。

图5 正交变换与线性方程组 因此，在特殊情况下，x等于第一列向量与已知向量的点积，y等于第二列向量与已知向量的点积。

图6 正交变换求解线性方程组 虽然这个思路对大多数线性方程组都不成立（因为非正交变换会导致变换前后，两个向量的夹角发生变化，因而点积会变化），但它给了我们一个方向去思考。

克莱姆法则

有没有另一种对输入向量坐标值的几何解释，能在矩阵变换后保持不变呢？

我们看看行列式。

怎么来求由第一个基向量$i$和未知的输入向量$[x,y{]}^T$组成的平行四边形面积？

图7 由第一个基向量和未知输入向量构成的平行四边形

面积是长度为1的低，乘上与底边垂直的高，这个高正好是未知向量$[x,y{]}^T$的$y$坐标。

图8 由第一个基向量和未知输入向量构成的平行四边形面积表示 因此，可以用这个平行四边形的面积来表示$y$。

更准确地，应该考虑这个平行四边形的有向面积。如果向量的$y$坐标是负的，则四边形面积也为负。前提是把基向量的$i$放在第一位来定义平行四边形。

图9 由第二个基向量和未知输入向量构成的平行四边形面积表示 未知向量$[x,y]^{T}$的$x$坐标等于由第二个基向量$\vec{j}$和未知的输入向量$[x,y]^{T}$组成的平行四边形面积。

举一反三，三维呢？
直观地，在$z$轴上的坐标等于第三个基向量$k$和未知的输入向量$[x,y{]}^T$组成的平行四边形面积，也就是基向量$k$和未知的输入向量$[x,y{]}^T$的叉积。

但有更好的方法。
考虑未知向量与另外两个基向量$i$和$j$所组成的平行六面体

图10 平行六面体

图11 用平行六面体提交计算z坐标

这个平面六面体的底面是由基向量$i$和$j$组成的正方形，面积是1，所以，它的体积等于它的高，也就是未知向量的z坐标。

同样地，可以用这个奇怪的方法来描述未知向量在某一个轴上的坐标值。

图12 用平行六面体提交计算y坐标

为什么要把坐标和平行四边形或六面体的面积或体积联系在一起？
因为矩阵变换后，平行四边形的面积不一定保持不变，可能成比例增大或减小

图13 变换前后面积发生变换

但注意：这正是行列式的关键，所有面积伸缩的比例都是一样的！

所有面积收缩的比例就是给定的行列式！

图14 变换前面积

图15 变换后所有面积伸缩的比例都是一样的

比如考虑一个新的平行四边形，第一条边是变换后的第一基向量（也就是矩阵的第一列），第二条边是变换后的未知向量$[x,y{]}^T$，那它的面积是多大呢？

图16 变换后的第一基向量与未知向量构成的平行四边形

其实这就是我们之前提及的平行四边形的变换。变换前，面积是未知输入向量的y坐标值。

所以，变换后的面积等于矩阵的行列式乘以y值（矩阵行列式是面积伸缩比例，y是变换前的面积）。

图17 变换后的平行四边形面积等于矩阵行列式乘以y

故，可用输出的平行四边形面积，除以矩阵的行列式计算出y。
$$y=\frac{Area}{det(A)}$$
那怎么计算出面积呢？

既然我们已知最终变换后的向量，毕竟这是一个线性方程组，可以构造一个新矩阵，第一列和我们原先的矩阵相同，而第二列是输出向量，然后取新矩阵行列式（其实就是底乘高）。

图18 利用变换后的面积计算y 这样，就只需使用变换后的两个向量，也就是矩阵的列向量们和已知输出向量，就能计算得出未知输入向量的y值。用同样的方法也可以计算出x值。

图19 利用变换后的面积计算x 这个线性方程组的解法，被称为克莱姆法则。