学习指导例题索引

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随机信号分析

	参量	值域	密度函数	均值、自相关	平稳性	各态历经	功率谱	备注
乘法调制输出信号 65	连续	连续		65 66	广义平稳 65 互相关、联合平稳性 66		80
随机相位正弦信号 42	连续	连续	43	43	严格平稳（该例条件下）65 80	相关各态历经 103 4.5	74	互相关62 2.11 作为加性干扰 76
伯努利随机序列 44	离散	离散	45	45	严格平稳 65			(+1,-1)密度函数、均值、协方差 62 2.8
二项式随机序列 62 2.12	离散	离散		62
半随机二进制信号 45	连续	离散	46	46	非平稳 65
随机二进制信号 81	连续	离散		81	81	均值各态历经 103 4.2	81	矩形等效带宽 117
泊松过程 47	连续	离散	48	48	非平稳 65

概率论

离散分布	分布律	期望E(X)	方差D(X)	和X+Y
01分布B(1,p)	42		108
二项分布B(n,p)	43	107	110	82
泊松分布P(λ)	45	111	111	82
负二项分布	41
几何分布	41	107
超几何分布	40

二维两点分布 联合分布律66

连续分布	概率密度函数	期望E(X)	方差D(X)	和X+Y
均匀分布	49	111	111	88三角分布
指数分布	51	112	112
正态分布	52	112	112	88

Y=g(X)
X∽N(μ,σ^2)
Y=aX+b∽N(aμ+b,(aσ)^2)
Y=(X-μ)/σ∽N(0,1) 85

X+Y
X∽N(μ1,σ1^2)，Y∽N(μ2,σ2^2)
-Y∽N(-μ2,σ2^2)
X+Y∽N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2+2ρσ1σ2) 88、117
X-Y∽N(μ1-μ2,σ1^2+σ2^2-2ρσ1σ2) 88、117

二维连续分布	联合概率密度函数	独立	条件概率密度
均匀分布	69	73
正态分布	71	74	79

二维正态分布相关系数117

微积分例题索引

函数 1.1~1.12

1.1 定义域
1.3 已知复合函数求中间函数
1.4 求反函数
1.5 函数方程
1.6 分段复合函数

1.7 单调
1.8 判断周期性方法：1. 定义。2. 运算（12页）
1.9 奇函数偶函数
1.10 证明不是周期：反证法
1.11 证明单调
1.12 偶函数 周期函数

极限 1.13~1.38、1.48~1.51

1.13 证明极限：用极限定义（14页）：数列极限、函数极限
1.14 数列极限：奇数和偶数
1.15 函数分段点的极限是否存在：左右极限存在且相等
1.16 函数分段点的极限
1.17 数列极限、无穷小
1.18 无穷大量一定是无界变量。无界变量不一定是无穷大量
1.19 求数列极限和函数极限：有界*无穷小
1.20 求函数极限
1.21 求函数极限：商的极限：无穷大 / 无穷大：分子分母同除以最高阶无穷大。
有理函数的极限（18页）
1.22 无穷小
1.23 求数列极限：涉及无穷项求和或乘积：做初等运算或者恒等变形转化为有限项形式。
数列求和公式（19页）
1.24 求数列极限和函数极限：无穷大 - 无穷大：通分或分子有理化，转化为分式的极限
1.25 求函数极限：商的极限（21页）：0 / 0：消去分子分母的0因子
1.26 同上
1.27 求函数极限：夹逼准则（22页）
求数列极限：无穷项求和：夹逼准则
1.28 求数列极限：单调有界准则
1.29 求数列极限：递推关系式：单调有界准则（24页）
1.30 求数列极限：单调有界准则

1.31 等价无穷小
1.32 求函数极限：等价无穷小替换
1.33 求函数极限：等价无穷小替换
1.34 求数列极限：无穷项求和：夹逼准则
1.35 等价无穷小：求函数极限：分子有理化
1.36 等价无穷小：求函数极限
1.37 等价无穷小：求函数极限：有理函数分式
1.38 高阶无穷小：求函数极限

1.48 求数列极限和函数极限：等价无穷小
1.49 求函数极限：1的∞次幂：重要极限公式
1.50 求函数极限：幂指函数转化成以e为底的函数
1.51 求函数极限

3 求函数极限：无穷大 - 无穷大
3 求数列极限：无穷项求和：夹逼准则
4 求数列极限：无穷项求和：恒等变形

连续 1.39~1.47、8

1.39 复合函数间断点
1.40 复合函数间断点
1.41 判断连续性：求函数极限
1.42 连续性求参数
1.43 连续性求参数
1.44 证明连续性
1.45 间断点类型
1.46 间断点类型
1.47 间断点类型求参数

闭区间连续函数 1.52~1.56、9、10

1.52 有界
1.53 有界
1.54 介值定理
1.55
1.56

一元函数微分学

2.1 可导一定极限存在。极限存在不一定可导。（58页）
连续且极限存在可推出：
2.2 连续不一定可导
2.3 当连续时，左导数 = 导数的左极限（59页）
2.4 导数定义
2.5 分段函数的不可导点
2.6 可导↔左右导数存在且相等
2.7 证明可导：定义
2.8 |f(x)|在x=a处不可导的充要条件（61页）
2.9 已知分段函数可导，求参数：1. 连续。2. 左导数=右导数
2.10 分段函数求导数：分段点的导数用定义计算
2.11 周期函数的导数是周期函数
奇函数的导数是偶函数
偶函数的导数是奇函数
2.13 求在某点处的导数：定义法简单、复合函数求导法麻烦
2.15 求反函数的导数=函数导数的倒数
2.16 求导数
2.17 求复合函数的导数
2.18 已知连续、可导、导函数连续，求参数
2.19 求导数：多因子乘积函数或幂指数函数求导：取对数
2.20 求复合函数的导数

2.21 隐函数求导：通过换底，幂指函数转化为指数函数
2.22 求切线方程和法线方程
2.24 隐函数求导：取对数
2.25 参数式函数求导

2.27 已知二阶导数存在，求参数（73页）
1.函数在分段点连续（左极限=右极限）
2.一阶导数存在（左导数=右导数）
3.二阶导数存在（左导数=右导数）
2.28 求反函数的二阶导数
反函数的求导公式可由复合函数求导法则得到（73页）
2.29 求n阶导数（74页）：1. 有理函数。2. 2个函数的乘积。3. 三角函数。
2.30 求n阶导数：逐阶求导，归纳法
2.30 求n阶导数：莱布尼茨公式（简单），逐阶求导，归纳法（麻烦）
2.32 求微分：先求导再写出微分：1. 换底。2. 取对数。

2.45 求分段函数的导数：分段点的导数要计算左右导数
2.46 洛必达法则（84页）
2.47 求数列极限：1. 求对应的函数极限（洛必达法则，变量代换）。
2.函数极限和数列极限的关系（3页）

微分中值定理

2.34 中值定理
2.35 中值定理：不满足条件也可能成立
2.36~38 证明方程f(x)=0在区间内有根、零点（80页）：介值定理、罗尔定理
2.39~41 证明不等式：Lagrange中值定理（81页）
2.40 已知导数有界，证明原函数有界
2.42 2.43 柯西中值定理
2.44 证明恒等式：证明常函数：证明导数=0（Lagrange中值定理的推论1）

泰勒公式 2.48~2.55

2.48 泰勒公式（86页）
2.49 泰勒公式：麦克劳林展开
2.50 泰勒公式：麦克劳林展开（间接）
2.51 泰勒公式
2.52 泰勒公式求极限：展开阶数根据无穷小的阶数确定

函数单调性和极值2.56~2.72

2.56 2.58 2.59 证明不等式f(x)≥0：构造辅助函数f(x)，使其易于求导
2.60 证明不等式：微分中值定理、单调性
2.61 判断极值点：定义：去心邻域
2.62 2.63 求函数的单调区间、极值、最值（94页）
1.求一阶导数
2.求驻点
3.列表分区间讨论
2.64 求极值：驻点处二阶导数的符号
2.66 证明不等式f(x)≥0：构造辅助函数f(x)（96页）
在区间内，如果f’(x)≠0，那么单调。
如果f’(x)=0，那么有极值或最值。
2.67 求连续函数的零点的个数（96页）

2.69 求函数的凸性和拐点
2.70 拐点
2.71 2.72 证明不等式：对于下凸函数，加权和的函数＜函数的加权和

作图2.73~2.75

2.73 渐近线

一元函数积分学

3.1 不定积分的结果有任意常数
3.2 求分段函数的原函数：分段点的连续性。可导一定连续
3.3 分部积分法
3.4 求极限：洛必达法则：积分上限函数求导
3.5 求使得不等式成立的参数范围：构造辅助函数，求导，单调性
3.6 积分上限函数、定积分第一类换元（凑微分）
3.7 已知等价无穷小，求参数：求极限：洛必达法则：积分上限函数求导
3.8 介值定理推论3零点存在：构造辅助函数，求导，单调性
3.9 积分上限函数求导：如果被积函数中含有上限中的变量（127页），那么换元
3.10 常见错误：反常积分不能考虑奇偶性
3.11 定积分的几何意义
3.12 奇偶函数对称区间。难以计算的定积分是在考察性质
3.13 定积分的保序性
3.14 周期函数的定积分，转化为非变限积分
3.15 常见错误：反常积分当作常义积分
3.16 奇函数的积分上限函数是偶函数
第一类间断点不影响积分上限函数的连续性
3.17 定积分，数列极限

3.22 求定积分的极限：定积分很难求：
1.积分中值定理116，转化为易求极限的表达式
2.放大缩小被积函数使得易于求积分，然后夹逼准则4
3.极限定义
3.23 求定积分的极限
3.24 定积分估值定理
3.25 证明存在一点使得等式成立：构造罗尔中值定理50的原函数。积分中值定理116
3.26 证明存在一点使得等式成立：积分中值定理116
3.27 求极限：洛必达法则：积分上限函数求导
3.28 积分上限函数求导，积分上限是复合函数
3.29
3.30 证明存在一点使得等式成立：构造微分中值定理50的原函数。
3.31 零点存在性：连续函数的介值定理（零点定理7）
零点唯一性：反证法：假设有2个零点，那么微分中值定理（罗尔定理）可得导数=0，矛盾
3.32 3.33 证明定积分不等式：利用积分上限函数，构造辅助函数，转化为单调性证明
3.34 已知包含积分上限函数的等式，求被积函数
3.35 求极值、单调区间、上下凸区间：求导
3.36 证明函数的最大值<某数：放缩被积函数使得易于积分
3.37 证明不等式：将f(x)表示成以其导数为被积函数的积分
3.38 证明不等式：定积分的区间可加性
3.39 求函数，其中有它的定积分：定积分是个常数
3.40 求最值函数的不定积分：分段函数
3.41 已知复合函数外层函数f(x)的导数，求f(x)：变量代换
3.42 证明不等式：题目条件中含有2阶导数，用1阶泰勒展开

3.49 证明不等式：定积分的保序性

3.55 证明存在一点使得等式成立→证明函数存在实根或零点：积分中值定理
3.56 积分上限函数求导。函数连续性
3.57 计算对称区间的定积分：奇偶函数（120、151页）
3.58 证明周期函数：积分上限函数，区间可加性
3.59 证明2个定积分相等：积分区间和被积函数相等
3.60 （120、152页）
3.61 三角代换转化为有理函数的积分

定积分定义

3.18 定积分定义
3.19 定积分定义。下凸函数证明积分不等式
3.20 定积分定义。凸函数证明积分不等式
3.21 定积分定义计算极限

计算不定积分：凑微分u=φ(x)

3.43 对被积函数中最复杂的部分求导，与其余部分呼应
3.44 分子分母同乘以
3.45 三角函数
3.46 多项式
3.47
3.48 三角函数

计算不定积分：第二类换元x=φ(t)

3.50 1.倒代换 2.根式代换
3.51 证明等式：定积分的区间可加性，第二类换元法，分部积分法
3.52 第二类换元：三角代换。将被积函数中积分困难的表达式令成一个新变量。
3.53 1.令一次根式为新变量。2.三角换元
3.54 三角换元：消去二次多项式的根式

分部积分法

3.62 v=根号
3.63 三角换元，v=三角函数
3.64 v=三角函数
3.65 v=三角函数
3.66 v=三角函数
3.67 分部积分法使得被积函数出现导数
3.68 求不定积分
3.69 求分段函数的积分上限函数
3.70 求定积分：分部积分法使得被积函数出现导数。微积分基本定理（157页）
3.71 曲线。求定积分
3.72 证明不等式：v=三角函数。函数的定积分的绝对值≤函数的绝对值的定积分（116页）。
3.73 证明等式：有导数（159页）
1.分部积分法
2.泰勒公式（包括拉格朗日中值定理51），一般是证明不等式
3.74 证明不等式：拉格朗日中值定理51
3.75 证明不等式：拉格朗日中值定理51

有理函数不定积分

3.76 待定系数法转化为最简分式之和
3.77 分母的次数远大于分子：
1.凑微分：1.凑高次幂的微分。2.将被积式转化为高次幂的表达式
2.倒代换
3.78 有理函数→最简分式。三角换元。分部积分
3.79 有理函数→最简分式。
3.80 三角有理函数
3.81 三角有理函数
3.82 三角有理函数。t=tan(x)
3.83 三角有理函数
3.84 三角有理函数
（3）1.三角有理函数：三角代换

反常积分

3.85 无穷区间
3.86 无界函数。三角代换
3.87 无界函数
3.88 无界函数
3.89

应用3.90~

常微分方程

一阶微分方程

可分离变量

4.11（1）
4.11（2）

一阶齐次方程

4.11（3）
4.12（1）

一阶线性方程

4.2 一阶齐次线性方程
4.11（4）
4.11（6）
4.12（3）
4.13 一阶非齐次线性方程

伯努利方程

4.11（5）
4.12（2）

可降阶的高阶微分方程：变量代换降阶

4.14 （1）$y^{(n)}=f(x,y^{(n-1)})$→$y^{(n)}=f(x)$：令$u=y^{(n-1)}$
4.14 （2）$y^{(n)}=f(x,y^{(n-1)})$：令$p(x)=y^{(n-1)}$
4.14 （3）$y^{(n)}=f(y,y^{(n-1)})$：令$p(y)=y^{(n-1)}$

高阶线性微分方程

4.3 二阶非齐次线性方程
4.7 二阶非齐次线性方程

常系数线性微分方程

4.4 二阶常系数非齐次线性方程
4.5 高阶常系数非齐次线性方程
4.6 二阶常系数齐次线性方程
4.8 高阶常系数齐次线性方程
4.9 二阶常系数非齐次线性方程
4.10 二阶常系数齐次线性方程
4.15 （1）二阶常系数齐次线性方程
4.15 （2）二阶常系数齐次线性方程
4.15 （3）三阶常系数齐次线性方程
4.16 二阶常系数非齐次线性方程的特解
4.17 二阶常系数非齐次线性方程的通解 = 对应齐次方程的通解+非齐次方程的特解
4.18 （1）高阶常系数非齐次线性方程的特解
4.18 （2）二阶常系数非齐次线性方程的特解：2个方程的特解之和
4.19 二阶常系数非齐次线性方程

欧拉方程

4.20 欧拉方程

多元函数微分

5.15 求多元函数的定义域：使函数有意义
★5.16 求多元函数的极限（239页）
5.17 证明多元函数的极限不存在（239页）：选取2条特殊路径
5.18 判断多元函数的连续性
5.19 求多元函数的偏导数，证明多元函数在某点不连续
5.20 判断多元函数的偏导数是否存在，判断多元函数在某点的连续性
★5.21 求多元函数的偏导数（242页）
5.22 判断多元函数的偏导数是否存在，判断多元函数在某点的连续性
5.23 求多元函数的偏导数（242页）
5.24、25、26 求多元函数的二阶偏导数
5.27 求多元函数的全微分：求偏导数
问答5 求多元函数的全微分
5.28.1 已知多元函数在某点的偏导数存在
5.28.2 已知多元函数在某点可微
5.29 证明多元函数在某点：连续，偏导数存在，★可微（247页），偏导数不连续
5.30 k次齐次函数：可微多元函数满足关系式
5.31 微分方程
问答3 判断多元函数在某点的偏导数是否存在，函数在某点是否可微

函数可微的定义和充分条件和必要条件

偏导数连续→函数可微
函数可微→函数连续
函数可微→偏导数存在
函数可微→方向导数存在

5.1 函数可微→偏导数存在
5.2 函数可微→函数连续
5.3.1 函数可微→偏导数存在
5.3.2 函数可微→偏导数存在，可微的定义
5.3.3 函数可微→函数连续
5.3.4 函数可微→偏导数存在，可微的定义
5.4 函数可微→偏导数存在
5.5
5.7 可微的定义

复合函数求导5.32~36

5.12、5.13 复合函数
5.32、33、问答6 求复合函数的二阶偏导数
5.34 求复合函数的二阶偏导数，求解微分方程
5.35 通过变量代换转化含有偏导数的方程
5.36 求复合函数的二阶偏导数
★5.39 求复合函数的全导数（256页）：
1.复合函数求导的链式法则
2.一阶全微分形式的不变性

隐函数5.37~45

5.9
★5.37、5.40、问答9 求隐函数的偏导数（254页）：1.用公式。2.方程两端求导
5.38 求隐函数的偏导数：方程两端求导
5.41
5.42、43 求隐函数的偏导数（方程组）（258页）
5.44、45 求隐函数的二阶偏导数

微分在几何的应用5.46~55

5.8
5.11
5.46~55

方向导数=梯度*方向余弦 5.52~59

5.52~59 求函数的方向导数：1.求偏导数 2.求方向余弦

多元函数的极值和最值，驻点，条件极值 5.60~74

5.6 极值的定义
5.10 极值→一阶偏导数=0，驻点
5.60 求多元函数的无条件极值：极值的定义（270页）
5.61 求多元函数的无条件极值
5.62 求多元函数隐函数的无条件极值
5.63、64 求多元函数的无条件极值（★273页）
5.65、66、问答10 求多元函数在有界闭区域的最值（★274页）
5.67~74 求多元函数的条件极值

多元数量值函数积分

6.1 比较二重积分值的大小：在积分区域内，被积函数的大小
6.2 对称区间上，奇偶函数的二重积分
6.3 对称区间上，奇偶函数的二重积分
6.4 交换二重积分的积分次序：根据积分上下限确定积分区域
6.5 直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的
6.6 对称区间上，奇偶函数的三重积分
6.7 曲线积分可以将曲线方程代入被积函数中
6.8 1.积分曲面的对称性，被积函数的奇偶性
2.区域曲面的轮换对称性
3.曲线方程代入被积函数
4.曲面的面积：被积函数=1
6.9 估计二重积分的值：估值定理
6.10 求二重积分的极限：积分中值定理
问答10 证明含有三重积分的不等式：估值定理

计算二重积分6.11~27

6.11 选择积分次序
★6.14 （309页）：形心公式
1.画出积分区域
2.选择坐标系：根据积分区域和被积函数的特点
3.选择积分次序：内层积分容易求。先对r后对θ
4.确定积分上下限
5.计算二次积分
6.注意积分区域的对称性和被积函数的奇偶性。形心公式
6.18 含有绝对值函数的二重积分（313页）
6.19 含有sgn函数的二重积分（314页）
6.20 含有max函数的二重积分（314页）
6.21 含有平方和的根号函数的二重积分（314页）
6.22 偏导数的二重积分（315页）
6.23 积分区域与参数t有关
6.24和问答5 积分区域与参数t有关。积分上限函数，微分方程（347页）
6.26 计算平面薄片质量（318页）
6.27 积分区域非封闭
问答3 被积函数是向下取整函数
问答4 求二元函数，其中包含二重积分
6.15 求二元函数，其中包含二重积分

6.25 利用二重积分证明不等式（318页）

计算三重积分6.28~40

6.28 先一后二
6.29 柱坐标系：先二后一
6.30 球坐标系：先二后一。形心公式
6.31 球坐标系
6.32 球坐标系
6.34 积分区域的轮换对称性（325页）
6.35 综合题：二重积分、三重积分、定积分的性质、积分上限函数
6.36 球坐标系
问答6 先二后一
问答7 球坐标系
问答8 球坐标系

6.37 求球的质心位置
6.38 求物体静止的位置
6.39 求球的转动惯量（329页）
6.40 求圆锥对某个质点的引力

第一类曲线积分计算6.41~46（332页）

6.41

第一类曲面积分计算6.47~52（337页）

6.47和问答9 求柱面的侧面积：利用平面曲线积分

多元向量值函数积分

第二类曲线积分计算

平面曲线积分计算7.4~19

7.18 证明曲线积分估值公式
7.19 变力做功

空间曲线积分计算7.32~37（395页）

7.38 变力做功
7.39 变力做功

第二类曲面积分计算7.20~31

场论7.40

哈密顿算子$\nabla ={\left[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right]}^T$
标量函数$\psi$
梯度$\nabla \psi ={\left[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right]}^T\psi ={\left[\frac{\partial \psi }{\partial x},\frac{\partial \psi }{\partial y},\frac{\partial \psi }{\partial z}\right]}^T$
向量函数$f={\left[P,Q,R\right]}^T$
散度$\nabla \cdot f={\nabla }^{T}f=\left[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right]{\left[P,Q,R\right]}^T=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
旋度 ∇ × f ⃗ = ∣ e x → e y → e z → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \nabla \times \vec f = \left| {\begin{array}{ccc} {\overrightarrow {{e_x}} }&{\overrightarrow {{e_y}} }&{\overrightarrow {{e_z}} }\\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\ P&Q&R \end{array}} \right| ∇×f ​= ​ex​ ​∂x∂​P​ey​ ​∂y∂​Q​ez​ ​∂z∂​R​ ​

无穷级数

常数项级数

任意项级数

8.1 级数的和=级数的前n项部分和+余项412
8.6 2个收敛级数的一般项的和的级数性质
8.16 证明级数收敛：部分和的极限存在
8.17 证明级数收敛：部分和的极限存在

正项级数

8.2 正项级数收敛的必要条件413
8.4 同敛散性413
8.11 正项级数收敛→（425页）该正项级数的几种变形得到的正项级数也收敛：比较判敛法
8.12 证明级数收敛：比值判敛法：递推关系式
8.13 比较判敛法：在保持不等号方向的条件下，不等式两边变形
8.15 证明正项级数收敛：交错级数发散。
方法1：正项级数收敛：根值判敛法
方法2：正项级数收敛：比较判敛法，几何级数
8.18 证明正项级数收敛：比较判敛法
选择1（2）证明正项级数收敛：比较判敛法，等价无穷小
选择2 证明正项级数发散：比较判敛法
问答3 讨论含参数级数的敛散性：
转化为讨论作为同阶无穷小的p级数的敛散性
问答4 p级数的敛散性

交错级数

8.3 证明交错级数绝对收敛：放大，比较判敛法413
8.5 已知交错级数条件收敛
8.19 证明交错级数条件收敛：不单调，不能leibniz。部分和极限。
选择1（1）leibniz

函数项级数

幂级数

8.7 幂级数展开计算导数
8.8 收敛半径和性质417
8.9 幂级数收敛区间（424页）收敛半径
选择3，4，填空3 幂级数收敛区间（424页）收敛半径

8.20 求幂级数的收敛域和和函数（432页）：
（1）逐项求导，几何级数求和
（2）常用函数的幂级数展开式
（3）1.幂级数求导性质。2.积分上限函数，几何级数求和，定积分（435页）

8.21 求幂级数的收敛域（缺偶次项）：（435页）
1.作为函数项级数处理
2.变量代换转化为幂级数：t=x^2
问答8 求幂级数的收敛域和和函数（缺奇次项）：t=x^2
1.对和函数f(x)的幂级数展开式求导，得到f’(x)
2.对f’(x)积分得到和函数f(x)

8.22 求函数项级数的收敛域和和函数：（436页）
变量代换转化为幂级数

8.23 已知幂级数收敛，其和函数满足微分方程，求和函数
求微分方程的解：无穷级数（437页）
问答7 证明幂级数的和函数满足微分方程，求幂级数的和函数

8.24 将函数f(x)展开为幂级数
方法1
1.求导得到f’(x)
2.将f’(x)展开为幂级数
3.对f’(x)从0到x积分得到f(x)的幂级数展开式，注意f(0)的取值
方法2
1.求f(x)的各求和项的幂级数展开式
2.求和得到f(x)的幂级数展开式

8.25（1）将函数f(x)展开为幂级数
1.求f(x)的因子的幂级数展开式
2.代入到f(x)中
（3）将函数f(x)展开为幂级数中的麦克劳林级数

问答6 求函数g(x)的导函数f(x)的幂级数展开式
1.求函数g(x)的幂级数展开式。2.求导

奇偶函数的傅里叶级数，正弦级数和余弦级数

8.27 将偶函数展开为傅里叶级数
问答9 将函数展开为以T为周期的余弦级数：偶延拓→周期延拓

周期函数的傅里叶级数

8.10 任意周期函数的傅里叶级数：偶延拓→周期延拓
8.26 证明定积分：$f^2(x)$从-l到l积分（440页）
8.28 将函数展开为以T为周期的傅里叶级数
方法1.
方法2.将区间转换为以0为中心的对称区间，转换为奇偶函数的展开（444页）
8.29 证明偶函数的傅里叶系数构成的级数绝对收敛
填空5 已知以T为周期的偶函数，求傅里叶级数的和函数

线性代数例题索引

矩阵及其运算（解答1~3，证明1~5、9、10）

选择1 矩阵运算不满足交换律
选择2 对称矩阵
解答1 矩阵运算：先化简再计算
解答2 已知$A=p{q}^T$，计算方阵的高次幂
解答3 已知$A=I+B$，计算方阵的高次幂
证明1 已知$A=p{q}^T$，计算方阵的高次幂：$A^2=q^{T}pA$
证明2 计算方阵的高次幂：归纳法

证明3 已知$A^{T}A=0$，证明A=0：对角线元素是平方和=0
证明4
（1）已知A和B都是幂等矩阵$A^2=A$，证明：A+B是幂等矩阵↔AB+BA=0
（2）已知A和B都是对合矩阵$A^2=I$，证明：AB是对合矩阵↔AB=BA
已知A是n阶实对称矩阵，且A是对合矩阵$A^2=I$，证明：存在正交矩阵Q，使得$Q^{-1}AQ$=对角矩阵，有r个1，有n-r个-1
对合矩阵的特征值=±1（矩阵学习指导32页）
对合矩阵相似于对角矩阵（矩阵学习指导86页）

证明5 幂等矩阵$A^2=A$
证明9 证明tr(AB)=tr(BA)
证明10 已知对任意X有tr(XA)=0，证明A=0
证明10 已知对任意X有tr(XA)=tr(BX)，证明A=B
检测8 证明AB=0：
检测9 已知B是元素全为1的n阶方阵$B=a{a}^T$，计算方阵的高次幂

初等变换（解答4~6）

选择10 初等矩阵
解答4 A是n阶方阵，求解AX=b：对增广矩阵进行行初等变换化为阶梯形（5页）
解答5 讨论含参数的AX=b的解
解答6 A是n阶方阵，求解AX=b

逆矩阵（解答7~15）

选择5 可逆↔齐次线性方程组存在非零解
选择9 可逆↔行初等变换
解答7 判断可逆性。求逆矩阵：行初等变换
解答8 已知矩阵满足关系式，证明可逆：构造AB=I
解答9 证明矩阵满足关系式
解答10 求逆矩阵：行初等变换。特殊矩阵求逆：构造AB=I
解答11 已知矩阵D满足关系式，求矩阵D：对关系式变形
解答12 证明可逆，求逆矩阵：构造AB=I
解答13 证明可逆，求逆矩阵：构造AB=I
解答14 已知矩阵B满足关系式，求矩阵B：对关系式变形
解答15 已知矩阵X满足关系式，求矩阵X：对关系式变形
证明6 证明不可逆：齐次线性方程组有非零解
证明8 证明A的逆矩阵是B：1.定义AB=I。2.行初等变换

分块矩阵

解答16 求逆矩阵：行初等变换。分块矩阵求逆
解答17 求逆矩阵：行初等变换。设出逆矩阵，用逆矩阵的定义解方程

行列式（解答1~16、20~23）

选择1 已知行列式D=0，那么

解答22 已知矩阵B满足关系式，求|B|：对关系式变形
解答23 已知矩阵满足关系式，求行列式：对关系式变形

检测问答6 证明非齐次线性方程组有唯一解：系数行列式≠0

证明9 证明不可逆↔证明行列式=0

计算行列式

选择4 主对角线和斜对角线有值，其它=0：拉普拉斯展开定理
证明5 主对角线都是a，斜对角线都是b

选择2 初等变换
选择5 初等变换
选择8 矩阵运算
选择9 计算行列式，对角线=1，其它=a
初等变换，上三角形矩阵的行列式=对角线元素的乘积
选择10 计算行列式，斜对角线=0，其它=1：初等变换

解答1 初等变换然后展开
解答2 左上到右下递增：相邻2行元素差1。
相邻2行作差，转化成有2行对应元相等，行列式=0
解答3 主对角线到左下和右上递增
相邻2行元素差±1。相邻2行作差，转化成三角
解答4 相邻2列求和，消去次对角线的元素，转化成上三角
解答5 相邻2行对应元素完全相同，除了斜对角线
作差，换行转化成三角

解答6 1. 第i行倍加到第i+1行，然后按照第n行展开。2. 递推公式
解答7 主对角线a，主对角线左下a-b，主对角线右上a+b
1.初等变换化简。2. 递推公式
解答8和9、检测问答3 主对角线=2个次对角线的和
展开，归纳法，解方程组

解答10 计算爪型行列式：初等变换，转化为上三角行列式
检测问答9

解答11 多次换行，转化为vandermonde行列式
解答12 倍加，转化为vandermonde行列式
解答13 按第4行展开或加边，转化为vandermonde行列式
检测问答5 数乘，转化为vandermonde行列式

解答14 矩阵(i,j)元素是ai+bj
1.倍加，相邻列作差，转化为上三角行列式。
2.分拆法：利用行列式的性质，转化成行列式之和
解答15 矩阵(i,j)元素是xixj，主对角线是xixj+1
加边法也称升阶法，转化成上三角行列式
解答16 $A{A}^T=kI$
先计算行列式的平方$|A{|}^2=|A||A^T|=|A{A}^T|$，再开根号

解答20 计算分块上三角行列式：用37页公式
解答21 某一行全是0，行列式=0

伴随矩阵（解答24~28，证明13）

选择6
选择7
解答24 已知|A|，求行列式
解答25 求逆矩阵。求行列式。
解答27 证明
解答28 已知矩阵B满足关系式，求B
证明13 证明可逆上三角形矩阵的逆矩阵是上三角形矩阵
检测问答8 已知$A\ast =A^T$，证明A可逆：反证法（84页）

线性方程组的解：克拉默（解答29、30）

选择3 含参数的非齐次线性方程组的解：计算系数行列式
解答19 齐次线性方程组有非零解：系数行列式=0
解答29 含参数的齐次线性方程组的解：计算系数行列式
解答30 含参数的非齐次线性方程组有唯一解：系数行列式≠0
证明10和11 证明齐次线性方程组有唯一解（即只有0解）：系数行列式≠0
检测问答4 平面上三点共线→齐次线性方程组有非零解：系数行列式=0

秩（解答31~36，证明7、8、14~21）

选择11 A≌B↔rank(A)=rank(B)。|A|=0↔不满秩rank(A) 选择12 |A|=0↔不满秩rank(A)rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}≤n
选择13 已知n阶非零矩阵A和B，AB=0，那么1<=rank(A) 齐次线性方程组有非零解↔rank(A)

解答31 求矩阵的秩：
1.定义：最高阶非零子式的阶数
2.行初等变换转化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数
解答32 已知rank(A)=2 1.|A|=0。2.行初等变换
解答33 已知rank(A)=2 1.定义：最高阶非零子式的阶数
2.行初等变换转化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数
解答34 讨论方阵的秩：行初等变换
解答35和36 乘以可逆矩阵，秩不变

★证明14 A和B是同型矩阵，rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)（75页，149页）（教材148页习题7）
★证明15 rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}≤n（75页）（教材145页）
证明16 证明n阶矩阵=可逆*幂等
证明19 矩阵的分解。秩1矩阵的列行分解（77页）
检测问答7 秩1矩阵的列行分解
证明21 |A|≠0↔满秩rank(A)=n
A和B都是m行矩阵，max{rank(A),rank(B)}≤rank(A,B)≤rank(A)+rank(B)（教材148页习题8）

几何空间

向量

平面

直线

n维向量空间

证明b能用A的列向量组线性表出（142页）

1. 定义：线性相关，系数不全为0（114页）
2. AX=b有解↔rank(A,b)=rank(A)
3. 唯一线性表出：A的列向量组线性无关
4. 反证法

证明A的列向量组线性无关（143页）

1. 定义：系数全为0（114页）
2. AX=0只有0解（114页）
3. rank(A)=n（向量个数，列数）
4. |A|≠0（A是方阵）
5. 反证法

证明16 A和B都是n阶方阵，证明ABX=0和BX=0同解↔rank(AB)=rank(B)
★证明21 A和B都是n阶方阵，证明如果AB=0，那么rank(A)+rank(B)≤n（153页）（教材153页）
★检测问答7 A是n阶方阵，$A^2=kA$，证明rank(A)+rank(A-kI)=n（158页）
证明23 A和B都是n阶方阵，rank(A)+rank(B)＜n，证明AX=0和BX=0有非零公共解（154页）

★解答4
矩阵A和B等价（4页）：初等变换。
矩阵A和B等价↔A和B是同型矩阵且rank(A)=rank(B)（125页）
矩阵A和B的列向量组等价（114页）：相互线性表出。
矩阵A和B的列向量组等价↔A和B同行数且rank(A)=rank(A,B)=rank(B)（125页）

向量组的线性相关，秩，极大无关组

选择2 找出线性无关的向量组：观察法，特殊值法
选择3 找出线性无关的向量组：
如果有0向量，那么线性相关
如果向量个数＞维数，那么线性相关
选择4 线性表出
选择5 线性表出
选择6 最大无关组

选择8 A∈m*n，如果m>n（行数维数>个数列数），且A的列向量组线性无关，那么rank(A)=n（最大无关组的向量个数）

选择10 如果A∈m*r的列向量组可由B∈m*s的列向量组线性表出，那么rank(A)≤rank(B)
rank(A)≤A的列数r，rank(B)≤B的列数s
如果r>s，那么rank(A)≤A的列数r，那么A的列向量组线性相关

解答5 线性相关，线性无关，线性表出
解答6
AX=0有非0解↔A的列向量组线性相关（114页）
AX=0只有0解↔A的列向量组线性无关（114页）
解答7 向量组线性相关，求参数的值，求向量组的秩，求最大无关组（115页）

线性方程组的解

A∈n*n	|A| A∈n*n（38页）	构成A的列向量组（114页）	rank(A) A∈m*n	AX=0
可逆	|A|≠0	线性无关	rank(A)=n 列满秩	只有0解
不可逆	|A|=0	线性相关	rank(A)	有非0解

AX=0有非0解↔rank(A) AX=0只有0解↔rank(A)=n↔A的列向量组线性无关（114页）↔|A|≠0（A是方阵，38页）

rank(A) A∈m*n	AX=b
rank(A,b)=rank(A)（114页）（证明158页）	有解
rank(A,b)≠rank(A)（114页）	无解

AX=b无解↔rank(A,b)≠rank(A)（114页）
AX=b有解↔rank(A,b)=rank(A)（114页）（证明158页）
选择7 A∈m*n，如果rank(A)=m，那么rank(A,b)=m，那么AX=b有解

A是方阵：
如果|A|≠0，那么AX=b有唯一解（38页）
|A|≠0↔rank(A,b)=rank(A)=n（39页）
如果|A|=0且rank(A,b)=rank(A)，那么AX=b有无数解（123页）
|A|=0↔rank(A)＜n（39页）
如果|A|≠0，X是任意非零列向量，那么AX是任意非零列向量（235页）：反证法

解答1 将b用a1,a2,a3线性表出，即求AX=b的解，其中A=(a1,a2,a3)：
A不是方阵，对增广矩阵进行行初等变换化为阶梯形（5页）
解答2 解AX=b：A是方阵
解答3 将b用a1,a2,a3线性表出，即求AX=b的解，其中A=(a1,a2,a3)
解答8 求AX=b的解

选择13 AX=0有解 不能→ rank(A,b)=rank(A)↔AX=b有解

选择14
如果AX=0的解都是BX=0的解，那么rank(A)≥rank(B)
AX=0的解空间的维数≤BX=0的解空间的维数，即n-rank(A)≤n-rank(B)
如果AX=0和BX=0同解，那么rank(A)=rank(B)

选择9 如果非零矩阵A和B满足AB=0，那么AX=0有非零解，那么rank(A)<列数，那么构成A的列向量组线性相关。
同理构成B的行向量组线性相关。

选择11 已知AX=0，A是非零矩阵
如果A是非零矩阵，那么rank(A)≥1

选择12 三条直线交于一点↔AX=b有唯一解↔唯一线性表出（115页定理3）

★选择15 rank(A)和rank(A*)的关系（122页）（教材154页）

★解答12 向量组是AX=0的一个基础解系
1.向量组是AX=0的解
2.向量组线性无关
3.向量的个数=n-rank(A)，n是未知数的个数，即A的列数
4.与AX=0的基础解系等价的线性无关向量组也是AX=0的一个基础解系（教材153页）

解答13 A是n阶方阵，求AX=0的非0解（通解）：|A|=0

AB=0↔B的列向量是AX=0的解向量（134页）

特征值和特征向量

选择1 已知n阶方阵A满足$A^k=0$（k是非负整数），那么A的特征值=0
选择2 矩阵的函数的特征值=特征值的函数。行列式=特征值之积
选择3 矩阵的函数的特征值=特征值的函数。伴随矩阵

选择4 已知A是n阶方阵（166页）
特征向量不是零向量
A和A的逆矩阵有相同的特征向量（161页）
A和A的转置有相同的特征值（161页）
A的同一特征值对应的特征向量的任意非零线性组合都是A的特征向量
A的不同特征值对应的特征向量的任意非零线性组合都不是A的特征向量
★证明1 证明不同特征值的特征向量的任意非零线性组合不是特征向量：反证法

★选择5 判断数λ是n阶矩阵A的特征值（166页）
1.Aα=λα
2.|λI-A|=0↔λI-A不可逆↔rank(λI-A) 3.A的行和=λ

A满足多项式g(A)=0→A的特征值λ满足多项式g(λ)=0（172页：解答4、解答6、解答8）
解答3 求特征值和特征向量
解答4 求特征值和特征向量：
解答5 每个特征值的代数重数=几何重数
解答6 求伴随矩阵特征值
解答7 求伴随矩阵特征值
解答8 求特征值和特征向量：A的行和=λ。可逆矩阵的特征值≠0

★证明：幂等矩阵的特征值=0或1（187页）（矩阵学习指导34页习题26）
证明4 已知A和B都是非零幂等矩阵，且AB=BA=0，证明0和1都是A和B的特征值（195页）
如果AB=0，那么rank(A)+rank(B)≤n（153页）
因为A是非零矩阵，所以rank(A)≠0

★检测问答6 已知A和B是n阶方阵，证明：AB和BA的特征值相同

相似矩阵

选择7 相似矩阵的多项式也相似。相似矩阵的秩相同
选择8 与单位矩阵相似的一定是单位矩阵
选择10 A∽B→
证明3 已知可逆矩阵A，A∽B，证明：伴随矩阵也相似A*∽B*

相似对角化

教材184页例3 已知A≠0且$A^k=0$（k是正整数），证明：A不能与对角矩阵相似：反证法
★解答14 将矩阵相似对角化
解答15 求A^n的极限：将矩阵A相似对角化
解答16 求A^n：将矩阵A相似对角化
解答17 相似矩阵的性质。将矩阵A相似对角化
解答18 讨论含参数的矩阵相似对角化
解答19 讨论含参数的矩阵相似对角化
检测问答8 已知实对称矩阵A的所有特征值和1个特征向量，求A^n：将矩阵A相似对角化

★解答32和检测问答9（191页、210页）
已知n阶方阵A满足多项式g(A)=0，证明A可以相似对角化：

即证明A有n个线性无关的特征向量
将g(A)=0变形为BC=0，所以rank(B)+rank©≤n①
因为B-C=I，即B+(-C)=I，所以rank(B-C)≤rank(B)+rank(-C)=rank(B)+rank©
所以rank(B)+rank©≥rank(B-C)=rank(I)=n②
因为①②，所以rank(B)+rank©=n
利用到以下定理
如果AB=0，那么rank(A)+rank(B)≤n（153页）
rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)（75页，149页）
rank(A)=rank(-A)（39页）

证明5 已知n阶方阵A和B有相同的n个互异特征值，那么A~B~对角矩阵
证明6 A是n阶下三角形矩阵
（1）已知A的对角线元素互异，那么A有n个互异特征值，A可以相似对角化
（2）已知A的对角线元素都一样，且A至少有一个非对角线元素≠0，那么A有n重特征值，那么A不可以相似对角化：反证法

证明11 已知n阶方阵A和B，A有n个互异特征值（200页）
（1）证明如果AB=BA，那么B可以相似对角化
（2）证明如果A和B的特征向量相同，那么AB=BA

检测问答7（1）证明：如果分块对角矩阵C的对角都可以相似对角化，那么C也可以相似对角化（208页）

n维向量空间的正交性，正交矩阵，schimidt正交化

教材196页习题11 已知A是奇数阶正交矩阵且|A|=1，证明λ=1是A的特征值
已知A是n阶实方阵，证明：存在正交矩阵Q，使得$Q^{-1}AQ$是三角矩阵↔A的特征值全是实数（矩阵学习指导30页）
已知A和B是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵Q，使得$Q^{-1}AQ=B$↔A和B的特征值全相等（矩阵学习指导31页）
教材199例2 已知A和B都是n阶实对称矩阵，证明：A∽B↔A和B特征值相同
解答20 求单位向量，使得它与3个已知向量正交：解方程组
★解答21 schimidt正交化，将向量组转化为正交单位向量组
解答22 求齐次线性方程组解空间的一组标准正交基：1.求基础解系。2.正交化，单位化

证明8 如果向量β与n维空间的标准正交基都正交，那么β=0
证明9 已知A∈n*s，B∈n*t，s+t≤n，A的列向量组线性无关，B的列向量组线性无关
如果这2个向量组正交，那么(A,B)∈n*(s+t)也线性无关（198页）
证明10 已知A∈n*s，B∈n*t，A的列向量组线性无关，B的每个列向量都和A的列向量组中的向量正交，如果s+t≥n，那么B的列向量组线性相关（199页）
证明12 证明矩阵是正交矩阵：定义法

证明14 分块矩阵
证明15 证明n阶实反对称矩阵（$A=-A^T=-A^H$）的特征值只能是0或者纯虚数（203页）（矩阵学习指导28页）
证明16 已知n阶方阵A是可逆矩阵，证明：可逆=正交*可逆的上三角（204页）
检测问答7（2）证明：如果分块对角矩阵C的对角都是正交矩阵，那么C也是正交矩阵（208页）

矩阵学习指导136页证明2 已知A和B是n阶正交矩阵，|AB|=-1，证明：|A+B|=0

实对称矩阵相似对角化

实对称矩阵一定与一个对角矩阵相似
实对称矩阵一定与一个对角矩阵合同
与实对称矩阵合同的矩阵是实对称矩阵：用定义证明

解答26 实对称矩阵相似对角化
解答28 实对称矩阵相似对角化：对角线元素=1，其它元素=b，行和相等
解答29 幂等矩阵相似对角化（187页）
★证明7 证明幂等矩阵可以相似对角化（197页）：A有n个线性无关的特征向量
证明17 A和B是实对称矩阵，A∽B↔A和B特征值相同
证明18 实对称矩阵可以相似对角化

已知A和B是n阶实对称矩阵，B是正交矩阵，证明：存在n阶可逆实矩阵P，使得$P^{T}AP$和$P^{T}BP$都是对角矩阵（矩阵学习指导34页习题22）
正定矩阵和单位矩阵合同
实对称矩阵和对角矩阵合同

二次型

实二次型，合同

证明17 A和B是实对称矩阵，证明：如果A∽B，那么A和B合同（217页）
实对称矩阵可以相似对角化，A∽对角矩阵1，B∽对角矩阵2
如果A∽B，那么A∽B∽对角矩阵

选择3 秩r、符号差s∈[-r,r]、正惯性指数p∈[0,r]
s=2p-r
s+r=2p
符号差s和秩r的奇偶性相同

检测问答1 求二次型的矩阵A：把二次型用矩阵形式表示
解答1 求二次型的矩阵A：把二次型用矩阵形式表示
解答2 求二次型的正惯性指数p
1.求特征值
2.化二次型为标准形
解答5 二次型标准形的系数是二次型矩阵的特征值

（教材223页习题7）
A和B是3阶实对称矩阵，证明：如果对任意X都有$X^{T}AX=X^{T}BX$，那么A=B

证明1 求矩阵的秩
★证明2 λmin≤f(X)=X^TAX≤λmax（234页，教材217页习题6）（矩阵学习指导32页习题18）
检测问答3 $|X^{T}AX|\le c{X}^{T}X$：和的绝对值≤绝对值的和

化二次型为标准形：实对称矩阵合同对角化

$f(X)=X^{T}AX=Y^T{C}^{T}ACY$，X=CY
$C^{T}AC$是对角矩阵

解答3 配方法：已知矩阵A
解答4 正交变换：已知矩阵A
解答6 正交变换：从求特征值和特征向量开始
二次型矩阵是实对称矩阵
解答7 正交变换：从求特征值和特征向量开始
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交

解答8 配方法：已知矩阵A的一个特征值，可求得矩阵A
解答17 正交变换：已知rank(A) 检测问答2 配方法：已知矩阵A
检测问答8 正交变换：已知矩阵A

正定二次型，正定矩阵

★已知A是实对称矩阵，那么A是正定矩阵↔
0.定义
1.A的特征值全>0（矩阵学习指导30页）
2.A的各阶顺序主子式全>0
3.二次型f(X)的正惯性指数=n
4.A与单位矩阵合同：$A=C{C}^T$（C是可逆矩阵）
5.A与正定矩阵合同：$A=CB{C}^T$（C是可逆矩阵，B是正定矩阵）（教材223页习题3）
A与正定矩阵相似：$A=CB{C}^{-1}$（C是可逆矩阵，B是正定矩阵）：A的特征值全>0
6.A是正定矩阵的非零线性组合：A=kB+lC（B和C是正定矩阵）（教材223页习题4）
7.A是正定矩阵的伴随矩阵：A=B*（B是正定矩阵）（教材223页习题5）
8.A是正定矩阵的逆矩阵：$A=B^{-1}$（B是正定矩阵）（教材220页）
8.可逆线性变换不改二次型的正定性：X=CY，f(Y)是正定二次型

★已知A是实对称矩阵，那么A是负定矩阵↔
1.A的特征值全<0
2.A的各阶顺序主子式奇负偶正
3.二次型f(X)的负惯性指数=n
4.$A=-C{C}^T$（C是可逆矩阵）（教材223页习题2）
5.-f(X)是正定二次型

（教材223页习题7）
正定矩阵的对角线元素>0
负定矩阵的对角线元素<0
（教材223页习题8）
半正定矩阵↔正惯性指数=rank(A) 半负定矩阵↔负惯性指数=rank(A) （教材223页习题9）
已知A是正定矩阵，证明：|A+I|>1
（教材223页习题10）
已知A是正定矩阵，证明：存在正定矩阵B，使得A=BB

★证明：正定矩阵A的逆矩阵也是正定矩阵（教材220页）
1.特征值全是正数
2.与单位矩阵合同
3.可逆线性变换不改二次型的正定性

解答9 正定二次型↔顺序主子式全>0
解答10 正定矩阵↔特征值全是正数

证明4 已知A是n阶可逆实矩阵，证明：A^TA是正定矩阵：定义（235页）
因为A是n阶实矩阵，所以A^TA是实对称矩阵
如果|A|≠0，X是任意非零列向量，那么AX是任意非零列向量（235页）：反证法

证明5 A∈m*n(m 列满秩矩阵A的列向量线性无关→AX=0只有零解→对任意非零列向量X，有AX≠0

证明6 证明：实可逆矩阵A=正交矩阵Q*正定矩阵B

已知A是n阶可逆实矩阵，那么A^TA是正定矩阵（235页）
已知A是正定矩阵，证明：存在正定矩阵B，使得A=BB（教材223页习题10）
因为以上2个定理，所以有
已知A是n阶可逆实矩阵，那么存在正定矩阵B，使得A^TA=BB，即$A=(A^T{)}^{-1}BB$
即证明$(A^T{)}^{-1}B$是正交矩阵：定义法

证明7 已知A是实对称矩阵，证明：A是正定矩阵：特征值全>0
证明8 已知B是实对称矩阵，证明：B是正定矩阵：定义
证明9 已知A是m阶正定矩阵，B∈m*n是实矩阵，证明：B^TAB是正定矩阵↔rank(B)=n列满秩（236页）：定义
证明10 已知A和B是n阶正定矩阵，证明：A和B的对应元素相乘得到的矩阵C是n阶正定矩阵：定义
证明11 已知A和B是n阶正定矩阵，证明：|A+B|>|A|+|B|

证明12 已知A和B是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵↔AB=BA（238页）

必要性：因为A和B和AB是n阶正定矩阵，所以A和B和AB是实对称矩阵，所以AB=BA
充分性：因为A和B是n阶正定矩阵，所以A=A^T=A^H，B=B^T=B^H，存在可逆矩阵P和Q，使得A=P^TP，B=Q^TQ，所以AB=P^TPQ^TQ
所以$QAB{Q}^{-1}=Q{P}^{T}P{Q}^{T}Q{Q}^{-1}=Q{P}^{T}P{Q}^T=(P{Q}^T{)}^{T}P{Q}^T$
因为AB=BA，A=A^T=A^H，B=B^T=B^H，所以AB=(AB)^T
因为PQ^T可逆，所以QABQ^{-1}与单位矩阵合同，所以QABQ^{-1}是正定矩阵，所以AB与正定矩阵相似，所以AB的特征值全>0，所以AB是正定矩阵
（矩阵学习指导66页习题14）
必要性：因为A和B和AB是n阶正定矩阵，所以A和B和AB是hermite矩阵，所以AB=BA
充分性：因为A和B是n阶正定矩阵，所以A=A^H，B=B^H
因为AB=BA，A=A^H，B=B^H，所以AB=(AB)^H

证明13 已知A是n阶正定矩阵，B是n阶实对称矩阵，证明：AB的特征值全是实数
实对称矩阵的特征值全是实数
即证明AB的特征多项式=某个实对称矩阵的特征多项式

证明14 证明特征多项式的根都>0：即证明特征值全>0，即证明正定矩阵
检测问答5 已知A是正定矩阵，证明：$(X^{T}AY{)}^2\le X^{T}AX{Y}^{T}AY$（240页）
检测问答6 已知A是正定矩阵，B是A的右下角那个元素+1，证明：B是正定矩阵，|B|>|A|
A和B的前n-1阶顺序主子式相同且都>0，$|A_{n-1}|>0$，|A|>0
分拆法（36页性质3）：$|B|=|A|+|A_{n-1}|>0$，所以B是正定矩阵

矩阵学习指导136页证明6 已知A∈m*n是实矩阵，$B=A^{T}A$，证明：B是半正定矩阵：定义
证明：当A的列向量线性无关时，B是正定矩阵：定义
因为A的列向量线性无关，所以当x≠0有Ax≠0

曲面和曲线

线性代数基础

酉矩阵和正交矩阵

幂等矩阵：A^2=A

★证明：幂等矩阵的特征值=0或1（187页）（矩阵学习指导34页习题26）

正交投影（方阵）：$A^2=A=A^H$
正交投影是hermite矩阵，所以是正规矩阵，所以酉相似于对角矩阵，对角矩阵的对角线是正规矩阵的特征值（矩阵102页）（矩阵学习指导35页习题27）

kronecker

值域R(A)，核N(A)

矩阵学习指导34页习题24、25

向量范数和矩阵范数

例题1 （1）证明范数是矩阵范数（2）证明矩阵范数是相容的（3）证明矩阵范数与向量范数相容
例题2 （1）求算子范数和矩阵2范数的关系（2）证明范数是向量范数

例题4、137页证明7 A是可逆的n阶方阵，B是n阶方阵，对某种相容的矩阵范数，有$||B||<||A^{-1}|{|}^{-1}$，证明：A+B可逆

方法1
A+B=A(E+A^{-1}B)，因为A可逆，所以等价于证明$(E+A^{-1}B)$可逆
因为$||B||<||A^{-1}|{|}^{-1}$，所以$|\lambda (A^{-1}B)|\le r(A^{-1}B)\le ||A^{-1}B||\le ||A^{-1}||||B||<1$
所以$A^{-1}B$的特征值≠1，所以$(E+A^{-1}B)$的特征值=$A^{-1}B$的特征值+1≠0，所以$(E+A^{-1}B)$可逆
方法2：反证法
假设$(E+A^{-1}B)$不可逆，所以$(E+A^{-1}B)x=0$有非零解，所以$(A^{-1}B)x=-x$，所以$1\le r(A^{-1}B)$，所以$1\le r(A^{-1}B)\le ||A^{-1}B||\le ||A^{-1}||||B||<1$，矛盾

130证明7 A可逆，B不可逆，证明关于相容矩阵范数的不等式

1 证明函数是向量范数
3 证明向量范数
9 证明函数是向量范数（矩阵学习指导48页）

2 向量范数的齐次性
4 矩阵a范数（教材58页）

4 矩阵m2范数
5 如果A^HA=I_r，那么矩阵A的谱范数=1，矩阵A的m2范数=sqrt®
131证明6 证明A的矩阵m2范数=关于A的奇异值的函数：奇异值分解

10 证明不等式：矩阵A的m2范数/sqrt(n)≤矩阵A的谱范数≤矩阵A的m2范数
11、12、130证明3、132证明5、134证明3（1）证明范数是矩阵范数（2）证明矩阵范数是相容的
132证明2 （1）证明范数是矩阵范数（2）证明矩阵范数是与向量范数相容

6 证明向量范数对应的算子范数是
7 算子范数的性质
8 已知2个向量范数的关系式，证明2个算子范数的关系式
131证明5 算子范数是自相容的矩阵范数

矩阵逆的摄动
例题3 即教材76页定理1

133证明7 方阵A，证明：存在矩阵范数，使得A的矩阵范数 教材64页 r(A)≤A的相容矩阵范数

134证明6 矩阵的最大奇异值函数，即矩阵2范数的相容性和三角不等式

135计算2 已知A是n阶实对称矩阵，已知A的特征值，求A的矩阵m2范数、A的谱半径、A的矩阵2范数
因为A是n阶实对称矩阵，所以A是正规矩阵
A的谱半径=A的矩阵2范数

矩阵分解

三角分解（满秩可逆n阶方阵）

满秩可逆n阶复方阵=酉矩阵*正线上三角复矩阵
满秩可逆n阶复方阵=正线下三角复矩阵*酉矩阵
满秩可逆n阶实方阵=正交矩阵*正线上三角实矩阵
满秩可逆n阶实方阵=正线下三角实矩阵*正交矩阵
实对称正定矩阵=正线上三角实矩阵^T*正线上三角实矩阵
hermite正定矩阵=正线上三角复矩阵^H*正线上三角复矩阵
hermite非负定矩阵=正线上三角复矩阵^H*正线上三角复矩阵（矩阵学习指导61页，例题9）

例题1 n阶实方阵=正交*正线上三角。A=QR：schimidt正交化
例题4 可逆n阶实方阵=正交矩阵*正定矩阵（矩阵学习指导59页）

三角分解（任意矩阵A∈m*n）

谱分解（单纯矩阵=可逆^{-1}*对角*可逆，教材98）

2 求n阶方阵A的谱分解（矩阵学习指导62页）

谱分解（正规矩阵=酉*对角*酉^H，教材102）

129计算5 求3阶实矩阵A的谱分解，并计算A的高次幂
1 求n阶方阵A的谱分解（矩阵学习指导62页）
8 求实对称矩阵n阶方阵A的谱分解，并计算A的高次幂

例题8 证明：正规矩阵的谱分解

例题7 已知A是正规矩阵，证明：A的特征向量也是A^H的特征向量
正规矩阵酉相似于对角矩阵
例题10
3 证明：正规矩阵A的特征值的绝对值的平方是$A^{H}A$和$A{A}^H$的特征值
正规矩阵酉相似于对角矩阵
4 已知A是n阶实对称矩阵，A^2=0，证明：A=0
方法1：所以λ^2=0，所以特征值全=0
因为A是正规矩阵，所以A酉相似于对角矩阵，所以A=0
方法2：反证法
5 已知A是n阶实对称矩阵，证明：存在n阶方阵S，使得A=S^3
因为A是正规矩阵，所以A酉相似于对角矩阵
6 已知A是三角矩阵，证明：A是正规矩阵↔A是对角矩阵（教材101页引理3）
7 已知A是正规矩阵，证明：A^2=0↔A=0
因为A是正规矩阵，所以A酉相似于对角矩阵
9 已知A是n阶实对称矩阵，A的主对角元素全>0，证明：A至少有一个特征值>0
实对称矩阵属于hermite矩阵，特征值都是实数
特征值之和=主对角元素之和>0
11 将正规矩阵酉相似对角化

129证明4 正规矩阵酉相似于对角矩阵
132证明4 正规矩阵酉相似于对角矩阵

最大秩分解：不唯一

10 求4阶实矩阵的最大秩分解
12 已知矩阵A的最大秩分解是A=BC，证明Ax=0↔Cx=0

已知Ax=0，假设Cx≠0，设y=Cx≠0
因为B列满秩，C行满秩，所以B的列向量线性无关，所以By=0只有零解，所以By≠0，所以Ax=BCx=Byx≠0，与Ax=0矛盾

奇异值分解（矩阵学习指导59页）

例题2 求A∈2*3的奇异值分解
例题3 求A∈3*3的奇异值分解
例题5 A∈m*n，B∈m*n，证明：$A^{H}A=B^{H}B$↔存在m*m的酉矩阵Q，使得QA=B

特征值的估计

★schur不等式：（矩阵学习指导60页例题6、68页定理1）
如果n阶方阵A的m2范数（所有元素的绝对值的平方的和）=A的所有特征值的绝对值的平方的和，那么A是正规矩阵
方阵酉相似于上三角矩阵

★hadamard不等式：（学习指导66页习题13）
|正定矩阵|≤对角线元素的乘积，当且仅当A是对角矩阵时，等式成立

1 证明：实对称矩阵A的所有特征值在区间[a,b]↔
实对称矩阵A与对角矩阵合同
2 实对称矩阵A的所有特征值在区间[a,b]，实对称矩阵A的所有特征值在区间[c,d]，证明：A+B的所有特征值在区间[a+c,b+d]（学习指导74页）
教材149页定理3 weyl
3 已知P是酉矩阵，A是对角矩阵，证明：A的对角线元素的绝对值的最小值≤PA的特征值的绝对值≤A的对角线元素的绝对值的最大值
教材131页browne定理

16 weyl定理

例题1 证明n阶实方阵A可以相似对角化，且特征值都是实数
因为盖尔圆孤立，所以A有n个不同的特征值，所以A可以相似对角化
因为n阶实方阵A盖尔圆孤立，所以A的特征值都是实数
例题2 证明n阶实方阵A可以相似对角化，且特征值都是正实数
因为盖尔圆孤立，所以A有n个不同的特征值，所以A可以相似对角化
因为n阶实方阵A盖尔圆孤立且在虚轴右边，所以A的特征值都是正实数
131证明4、134证明5 证明矩阵A有n个不同的特征值，且特征值都是正实数

★例题3 精确估计/隔离n阶方阵A的特征值（学习指导73页）（教材139页）：选取对角矩阵D求出A的相似矩阵
10 证明4阶实方阵A的谱半径r(A)<13：精确估计：选取对角矩阵D求出A的相似矩阵

例题4 已知，证明：n阶方阵A的谱半径r(A)

4、136证明3 证明4阶实方阵A至少有2个实特征值
5 估计4阶方阵A的特征值

6 估计3阶方阵A的特征值和谱半径
r(A)≤A的极大行和
因为有圆心重合的盖尔圆，所以无法进一步估计特征值

7 证明4阶实方阵A的谱半径r(A)<1（学习指导70页定理15）
r(A)≤A的极大行和=1
8 证明4阶实方阵A的谱半径r(A)=1
r(A)≤A的极大行和=1
因为|I-A|=0，所以1是A的特征值，所以r(A)≥1
132证明3 证明4阶实方阵A的谱半径r(A)=1
r(A)≤A的极大行和=1
A的行和=1，所以1是A的特征值，所以r(A)≥1

135证明3 A的特征值的绝对值的最大值=r(A)≤A的极大行和<1

11 A是行严格对角占优矩阵，所以A可逆
12 A是行严格对角占优矩阵，所以A可逆
129问答2 已知A是幂等矩阵且A≠I，那么A不是严格对角占优：反证法：如果是，那么可逆，那么A=I

133证明7 A是严格对角占优矩阵，D是A的对角线元素构成的对角矩阵，证明：$r(I-D^{-1}A)<1$
因为$(I-D^{-1}A)$的圆心在原点
$D^{-1}A$使得A的第i行乘以aii^{-1}

13 已知方阵A可逆，证明：|λ|≤A的矩阵2范数：相容

14 rayleigh商
130证明2 已知A是hermite矩阵，特征值全相等，证明：A的rayleigh商=A的特征值

矩阵分析

矩阵序列

收敛矩阵的谱半径r(A)<1（教材159页定理3，学习指导43页例5）

例题1 对于相容矩阵范数||||，方阵A满足||A||<1，证明：A是收敛矩阵
例题4 求矩阵序列的极限

1、137证明7 A是收敛矩阵，确定参数的值：1.求特征值。2.收敛矩阵的谱半径r(A)<1
2 已知矩阵序列收敛于矩阵A，证明
3和4 已知矩阵序列A^(k)收敛于矩阵A，矩阵序列B^(k)收敛于矩阵B，证明（教材159页定理1，学习指导91页）

矩阵级数：矩阵序列的无穷和

5 已知矩阵级数绝对收敛，证明也绝对收敛

矩阵幂级数

谱半径r(A)<幂级数收敛半径→矩阵幂级数绝对收敛

例题5 证明矩阵幂级数收敛
6 讨论矩阵幂级数收敛性
7 求矩阵幂级数（neumann级数）：
1.证明A是收敛矩阵：谱半径r(A)≤极大行和<1
2.neumann级数=$(I-A{)}^{-1}$

矩阵函数

例题2 A是3阶方阵，求矩阵函数值：Jordan标准形
例题6 （1）A是幂等矩阵，求矩阵函数值sinA（教材164页）
幂等矩阵可以相似对角化（线性代数学习指导197页）
例题6 （2）A是对合矩阵，求矩阵函数值sinA（教材164页）
对合矩阵可以相似对角化
例题9 A是4阶方阵，求矩阵函数值
9 A是3阶方阵，求矩阵函数值
10 A是3阶方阵，求矩阵函数值
11 A是4阶方阵，求矩阵函数值

矩阵函数的性质

例题7 A和B是n阶方阵，当AB=BA时，$e^A{e}^B=e^B{e}^A=e^{A+B}$（教材168页，学习指导86页）
例题7 A和B是n阶方阵，$|e^A||e^B|=|e^B||e^A|=|e^{A+B}|$
8 A和B是n阶方阵，当AB=BA时，（教材168页，学习指导92页）

矩阵微分和积分

例题3 证明矩阵微分性质

12 函数矩阵的逆的微分

例题8 数量函数对矩阵变量的导数
13 数量函数对矩阵变量的导数
15 数量函数对矩阵变量的导数

14 矩阵值函数对向量变量的导数

例题10 求线性微分方程组初值问题的解

广义逆矩阵

单边逆：左逆GA=I，右逆AG=I

A列满秩↔A的左逆G存在
A行满秩↔A的右逆G存在

例题1 A是m阶可逆实方阵，C是n阶可逆实方阵，证明：如果实矩阵B∈m*n是左右可逆的，那么ABC也是左右可逆的
23 证明矩阵是矩阵的左逆或右逆：定义

广义逆：AGA=A。G∈A{1}

例题2 求A的广义逆
例题6 证明矩阵是矩阵的广义逆：定义
1 求A的广义逆
2 A是n阶方阵，证明A的广义逆存在
3 证明矩阵是矩阵的广义逆：定义
4 证明矩阵是矩阵的广义逆：定义

132判断9、133判断9 已知G是A的广义逆，A=BD是A的最大秩分解，证明：rank(DGB)=r
方法1：r=rank(B)=rank(D)≥rank(DGB)≥rank(BDGBD)=rank(AGA)=rank(A)=r
方法2：BDGBD=AGA=A=BD→DGB=I→rank(DGB)=r

自反广义逆：AGA=A，GAG=G。G∈A{1,2}

1 求A的自反广义逆
5 证明零矩阵0∈m*n的自反广义逆是0∈n*m：定义
7 证明矩阵是矩阵的自反广义逆：定义

MP广义逆：G∈A{1,2,3,4}

正交投影（方阵）：$A^2=A=A^H$
例题4 A是正交投影，证明A的MP广义逆=A：验证满足MP广义逆定义的4个方程
9和22 已知A是hermite矩阵，证明：（学习指导108页）（教材204页推论1）
10 已知A的最大秩分解为A=BC，证明A+=C+B+（教材207页定理1）
11、136证明7 证明(A+)+=A：定义（教材201页定理3）
12 证明（教材203页定理4）
13 证明矩阵是矩阵的MP广义逆：（酉矩阵）定义
15 证明矩阵是矩阵的MP广义逆：定义
16 证明矩阵是矩阵的MP广义逆：（kronecker）定义
131证明4 证明矩阵是矩阵的MP广义逆：定义

14 已知A是正规矩阵，证明（学习指导109页）

例题3 A是3阶方阵，求A的MP广义逆：最大秩分解法（学习指导99页）
6 求A的MP广义逆：A是列满秩矩阵（教材207页）
17 求A的MP广义逆：（1）奇异值分解（2、5）最大秩分解（3）极限（4）谱分解（学习指导99页、111页）
24 求A的MP广义逆：
129计算5 求3阶实矩阵A的最大秩分解，并求A的MP广义逆

137证明6

求方程组AX=b

例题7 求最小范数解和通解
19 求最小范数解和通解

例题8 求最佳逼近解
20 求最佳逼近解
21 求最佳逼近解
24 求最佳逼近解，数据拟合误差

131计算7、134计算4、133计算6、137计算4 （1） 求A的最大秩分解（2）求A的MP广义逆（3）求方程组AX=b是否有解（4）求解

18 证明方程组是相容的（学习指导114页）

1 概率论基本概念

1.1 随机事件和随机变量

随机试验和随机事件

样本空间与随机变量

事件的关系和运算

1.2 概率

古典概率

概率的公理化定义，概率的性质

1.3 条件概率

条件概率

乘法公式

全概率公式 抽签的公平性

贝叶斯公式

1.4 独立性

2个事件的独立性

n个事件的独立性

2 随机变量的分布

3 多维随机变量

4 随机变量的数字特征

5 大数定律和中心极限定理

6 数理统计

7 参数估计

8 假设检验

9 回归分析