AM@微分@柯西中值定理

abstract

• 柯西中值定理及其和拉格朗日中值定理的联系

Cauchy中值定理

• 若两函数$f(x)$和$F(x)$满足:
  • $[a,b]$上连续
  • $(a,b)$内可导
  • $\forall x\in (a,b)$,$F^{\prime }(x)\ne 0$
• 那么在$(a,b)$内至少由一点$\xi$满足$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$=$\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$(0)成立
  • 若令$k=\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$(0-1),则(0)作$k=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$(0-2)

分析

• Cauchy中值定理涉及两个函数
• 而一个普通方程可以通过转换为参数方程,实现一个方程一分为二个密切相关的方程:$y=f(x)$ $\iff$ $x=\varphi (t);y=\psi (t)$

函数在参数方程形式下的largrage中值定理的表达形式

• 设函数$y=f(x)$的某区间上的弧$AB$由由参数方程$x=\varphi (t)$;$y=\psi (t)$,$(t\in [a,b])$表示(定义),其中$t$为参数
• 设来连续曲线弧$AB$上除了端点外,处处具有不垂直$x$轴的切线,则该弧上至少有一点$C$,该处切线平行于弦$AB$
• 点$A,B$坐标对应的参数分别为$a,b$,则它们的参数坐标分别为$A(\varphi (a),\psi (a))$,$B(\varphi (b),\psi (b))$
  • 由参数方程求导公式,曲线上的任意点$(x,y)$处的切线斜率为:$y_x^{\prime }$=$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}$(1)
    • 参数$t=\xi$处的导数(切线斜率)为$\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}{|}_{t=\xi }$=$\frac{{\psi }^{\prime }(\xi )}{{\varphi }^{\prime }(\xi )}$(1-1)
  • 且弦$AB$的斜率为$\frac{\psi (b)-\psi (a)}{\varphi (b)-\varphi (a)}$(2)
• 设点C对应于参数$t=\xi$,则曲线上的点$C(\varphi (\xi ),\psi (\xi ))$处的切线斜率满足:$\frac{\psi (b)-\psi (a)}{\varphi (b)-\varphi (a)}$=$\frac{{\psi }^{\prime }(\xi )}{{\varphi }^{\prime }(\xi )}$;

证明

• 分析:将式(0-2)变形为$f^{\prime }(\xi )-k{F}^{\prime }(\xi )=0$,(3)
• 构造$\varphi (x)$=$f(x)-kF(x)$,式(0-2)可以写成:${\varphi }^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-k{F}^{\prime }(x)=0$,即${\varphi }^{\prime }(x)=0$,(3-1)
• (3-1)形如Rolle定理的结论,考虑使用Rolle定理证明,只要证明了(3-1)成立,就证明了(0)式成立
  • 其中$\varphi (x)$在和$f(x),F(x)$一样都
    • 在$[a,b]$上连续
    • 在$(a,b)$内可导
  • 如此,现在关键是判断$\varphi (a)=\varphi (b)$是否成立,如果成立,
    • $\varphi (x)$=$f(x)-kF(x)$=$\frac{(F(b)-F(a))f(x)-(f(b)-f(a))F(x)}{F(b)-F(a)}$
      • $\varphi (a)$=$\frac{F(b)f(a)-F(a)f(b)}{F(b)-F(a)}$
      • $\varphi (b)$=$\frac{F(b)f(a)-F(a)f(b)}{F(b)-F(a)}$
    • 可见,$\varphi (a)=\varphi (b)$=$\frac{F(b)f(a)-F(a)f(b)}{F(b)-F(a)}$
  • 综上,融合了$f(x),F(x)$两个函数为一个函数的$\varphi (x)$满足Rolle定理的使用条件,由Rolle定理,在$(a,b)$内至少有一点$\xi$,得(3-1)成立,也就是(0)成立
  • 从而Cauchy中值定理成立

对比Cauchy和Largrange中值定理中证明

• 两个定理证明的共同点在于引入辅助函数,在Cauchy,Largrange中值定理中引入的辅助函数为分别为:
  • ${\varphi }_c(x)$=$f(x)-k_c$=$f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)$
  • ${\varphi }_l(x)$=$f(x)-f(a)-k_l(x-a)$=$f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
  • $k_c=\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$比$k_l=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$更加抽象,但都(间接或直接)启发自定理的几何解释(前者是参数方程上运用Largrange定理启发;后者则是直接启发于几何意义)

Cauchy中值定理和Largrange中值定理的联系

• 当$F(x)=x$时,$F(b)-F(a)=b-a$,$F^{\prime }(x)=1$,从而公式(2))就可以退化成,$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{1}$,整理:即$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$,$(\xi \in (a,b))$,这就是Largrange中值公式