平均值定理在调和函数中的应用

题目

问题 2. 利用平均值定理的证明（参见第 7.2.4 小节），证明如果在球 $$B(y,r)$$ 中 $$\Delta u\ge 0$$，则

(a) $$u(y)$$ 不超过 $$u$$ 在该球边界球面 $$S(y,r)$$ 上的平均值：

$$u(y)\le \frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{S(y,r)}udS.$$

(b) $$u(y)$$ 不超过 $$u$$ 在该球 $$B(y,r)$$ 上的平均值：

$$u(y)\le \frac{1}{{\omega }_n{r}^n}{\int }_{B(y,r)}udV.$$

© 对于满足 $$\Delta u\le 0$$ 的函数，给出类似的陈述（在下一个问题中，我们将它们称为 (a)’ 和 (b)’’）。

其中：

• $${\sigma }_n$$ 是 $$n$$ 维单位球面的表面积（即 $${\mathbb{R}}^n$$ 中单位球面的 $$(n-1)$$ 维测度），
• $${\omega }_n$$ 是 $$n$$ 维单位球的体积（即 $${\mathbb{R}}^n$$ 中单位球的 $$n$$ 维测度），
• $$\Delta u=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i^2}$$ 是 Laplace 算子，
• $$B(y,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x-y|<r\}$$ 是以 $$y$$ 为中心、$$r$$ 为半径的开球，
• $$S(y,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x-y|=r\}$$ 是球 $$B(y,r)$$ 的边界球面。

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解决题目

我们利用调和函数平均值定理的证明方法（见第 7.2.4 小节）。假设 $$u$$ 是足够光滑的函数（例如，二阶连续可微），以确保所有导数和积分操作有效。给定条件 $$\Delta u\ge 0$$ 在 $$B(y,r)$$ 中成立，表明 $$u$$ 是次调和函数（subharmonic function）。

(a) 证明 $$u(y)\le \frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{S(y,r)}udS$$

定义球面平均值函数：
$$\varphi (r)=\frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{S(y,r)}u(x)dS(x).$$
通过坐标变换 $$x=y+r\xi$$（其中 $$|\xi |=1$$，球面面积元素变换为 $$dS(x)=r^{n-1}dS(\xi )$$，且单位球面 $$|\xi |=1$$ 的面积为 $${\sigma }_n$$，因此：
$$\varphi (r)=\frac{1}{{\sigma }_n}{\int }_{|\xi |=1}u(y+r\xi )dS(\xi ).$$
对 $$r$$ 求导：
$${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{{\sigma }_n}{\int }_{|\xi |=1}\nabla u(y+r\xi )\cdot \xi dS(\xi ).$$
在球面 $$S(y,r)$$ 上，单位外法向量为 $$\mathbf{n}=\frac{x-y}{r}=\xi$$，因此：
$${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{S(y,r)}\nabla u(x)\cdot \mathbf{n}dS(x).$$
由散度定理（Gauss 定理）：
$${\int }_{S(y,r)}\nabla u\cdot \mathbf{n}dS={\int }_{B(y,r)}\Delta udV.$$
代入得：
$${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{B(y,r)}\Delta udV.$$
给定 $$\Delta u\ge 0$$ 在 $$B(y,r)$$ 中，因此：
$${\int }_{B(y,r)}\Delta udV\ge 0⟹{\varphi }^{\prime }(r)\ge 0.$$
这表明 $$\varphi (r)$$ 是 $$r$$ 的非减函数。当 $$r\to 0^{+}$$ 时，球面收缩到点 $$y$$，且 $$u$$ 连续，故：
$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\varphi (r)=u(y).$$
由于 $$\varphi (r)$$ 非减，对任意 $$r>0$$，有：
$$\varphi (r)\ge \underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\varphi (\rho )=u(y).$$
即：
$$u(y)\le \frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{S(y,r)}udS.$$

(b) 证明 $$u(y)\le \frac{1}{{\omega }_n{r}^n}{\int }_{B(y,r)}udV$$

定义体积平均值函数：
$$\psi (r)=\frac{1}{{\omega }_n{r}^n}{\int }_{B(y,r)}u(x)dV(x).$$
球体积积分可分解为球面积分：
$${\int }_{B(y,r)}udV={\int }_0^r{\int }_{S(y,s)}udSds.$$
由 (a) 中的 $$\varphi (s)$$，有 $${\int }_{S(y,s)}udS=\varphi (s){\sigma }_n{s}^{n-1}$$，且 $${\sigma }_n=n{\omega }_n$$（因为单位球体积 $${\omega }_n=\frac{1}{n}{\sigma }_n$$），因此：
$${\int }_{B(y,r)}udV={\int }_0^r\varphi (s){\sigma }_n{s}^{n-1}ds={\int }_0^r\varphi (s)n{\omega }_n{s}^{n-1}ds.$$
代入 $$\psi (r)$$：
$$\psi (r)=\frac{1}{{\omega }_n{r}^n}{\int }_0^r\varphi (s)n{\omega }_n{s}^{n-1}ds=\frac{n}{r^n}{\int }_0^r\varphi (s)s^{n-1}ds.$$
由 (a)，对任意 $$s\in (0,r)$$，球 $$B(y,s)\subset B(y,r)$$ 且 $$\Delta u\ge 0$$ 在 $$B(y,r)$$ 中，故在 $$B(y,s)$$ 中 $$\Delta u\ge 0$$，应用 (a) 得 $$\varphi (s)\ge u(y)$$。因此：
$$\psi (r)\ge \frac{n}{r^n}{\int }_0^{r}u(y)s^{n-1}ds=u(y)\frac{n}{r^n}\cdot \frac{r^n}{n}=u(y).$$
即：
$$u(y)\le \frac{1}{{\omega }_n{r}^n}{\int }_{B(y,r)}udV.$$

© 对 $$\Delta u\le 0$$ 的函数的类似陈述

如果 $$\Delta u\le 0$$ 在 $$B(y,r)$$ 中（即 $$u$$ 是超调和函数，superharmonic），则类似推导可得反向不等式：

• (a)’ $$u(y)$$ 不小于 $$u$$ 在球面 $$S(y,r)$$ 上的平均值：
  $$u(y)\ge \frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{S(y,r)}udS.$$
  证明概要： 类似 (a)，$${\varphi }^{\prime }(r)=\frac{1}{{\sigma }_n{r}^{n-1}}{\int }_{B(y,r)}\Delta udV\le 0$$，故 $$\varphi (r)$$ 非增，且 $$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\varphi (r)=u(y)$$，因此 $$\varphi (r)\le u(y)$$.

• (b)’’ $$u(y)$$ 不小于 $$u$$ 在球 $$B(y,r)$$ 上的平均值：
  $$u(y)\ge \frac{1}{{\omega }_n{r}^n}{\int }_{B(y,r)}udV.$$
  证明概要： 类似 (b)，$$\psi (r)=\frac{n}{r^n}{\int }_0^r\varphi (s)s^{n-1}ds$$，由 (a)’ 有 $$\varphi (s)\le u(y)$$，因此 $$\psi (r)\le u(y)$$.

这些陈述在下一个问题中称为 (a)’ 和 (b)’’。