函数的七大结论【总结，f(x)，导数，积分】

上一部分对于函数的四大特性进行了讲解，这是属于中学数学的。

但是我们大学中学的是微积分，所以更加关注 导数 和 积分

考微积分：一定是给f’(x)，然后研究它的微分（导数） 和 积分

f(x)、f’(x)、f(x)积分的祖孙关系

f(x)求导得到他儿子——f’(x)

f(x)积分得到他爸——f(x)的积分

求导之后函数奇偶性 ！互换！

①若f(x)是可导的偶函数，则f’(x)是奇函数

也就是说有这样的条件，立马得到f'(0) = 0

②若f(x)是可导的奇函数，则f’(x)是偶函数

③若f(x)是可导的周期为T的周期函数，则f’(x)也是周期函数，且周期不变（T）

④连续的奇函数的一切原函数都是偶函数（而连续的偶函数！！仅有一个！！原函数是奇函数）

• 连续函数 必有 原函数

简单证明

我们知道如果我们要求f(x)的原函数，将需要使用到积分，即

，其中C是常数

对于F(x) + c就是我们所求的原函数了，其几何意义就是将F(x)在y轴上移动c个单位

也就是说

• 如果连续的奇函数的原函数是偶函数的话，那么在y轴上移动，依旧关于Y轴对称——全部都是偶函数
• 如果连续的偶函数的原函数是奇函数的话，那么继续在Y轴上移动的话，将**仅仅只有C=0**时关于原点对称

⑤连续的偶函数！！仅有一个！！原函数是奇函数

⑥若连续函数f(x)以T为周期，且在[0, T]上积分值为0，则f(x)的一切原函数也都以T为周期

若连续函数f(x)以T为周期 =>(根据结论③) 导函数一定也以T为周期。在这个条件下，如果在[0, T]上积分值不为0，结论不一定成立

⑦！！！若f(x)在(a,b)内可导，且f’(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界！！！

问题一：**有导师问：**为什么在函数在有界区间内可导，导函数有界，则函数有界呢？

首先要理解问题！

有限区间内可导 ===> 有限区间内是连续函数

f’(x) ===> 换一个词：变化率（控制函数值的）

如果f(x)在有界区间内，是可导连续的，且它的变化率也是有界的 =====> 这个函数的任何一个位置的变化率都是有界的

也就是说：如果一个有界函数的变化率是有界的，就可以控制函数一定是有界的

证明

任取x属于(a,b)，证|f(x)| <= M；任取一个顶点x₀

则有

所以

加上绝对值

根据 不等式，则可以得到

一定会得到结果**（严格小于）**

这里f(x₀)、(b-a)都是常数，然后f’ 就是f’(x)的特殊点——必然也是有界的

对于导数，我们有

那么对于这个特殊点，我们也有这样的结论

所以，最后能得到

此时右侧都是常数，所以可以简化成M

这里的本质就是通过导函数的有界控制f(x)的有界

这里 只针对有界区间

证明完毕

总结

f’(x)	f(x)	积分
一定为奇函数	偶函数	只有一个奇函数
一定为偶函数	奇函数	全部都是偶函数
依旧以T为周期	以T为周期	只有在[0, T]上积分值为0，才以T为周期

从中间的f(x)列开始开，左右推导