OFDM循环前缀及其作用（矩阵视角解释）
OFDM循环前缀及其作用——矩阵视角解释
读者在阅读这篇博客之前，建议先阅读和掌握我之前写的另一篇博客循环卷积和线性卷积（矩阵视角)。
考虑一个时不变的宽带信号模型：
y [ m ] = ∑ l = 0 L − 1 h l x [ m − l ] + w [ m ] (1) y[m] = \sum_{l=0}^{L-1} h_l x[m - l] + w[m] \tag{1} y[m]=l=0∑L−1hlx[m−l]+w[m](1)
如果不考虑噪声 w w w的话，式(1)可以看作是信道向量 h = [ h 0 , ⋯ , h L − 1 ] ∈ C L × 1 \boldsymbol h=[h_0,\cdots,h_{L-1}] \in \mathbb C^{L \times 1} h=[h0,⋯,hL−1]∈CL×1与信号向量 x = [ x 0 , ⋯ , x N − 1 ] ∈ C N × 1 \boldsymbol x=[x_0,\cdots,x_{N-1}] \in \mathbb C^{N \times 1} x=[x0,⋯,xN−1]∈CN×1的线性卷积。我们知道正弦函数是线性时不变系统的特征函数，注意这只在无穷维空间中成立，而实际中遇到的问题维度是有限的，所以不可避免地引入了符号间干扰(ISI)。
为了解决宽带通信系统中出现的ISI问题，学者引入了循环前缀(Prefix)的概念，下面我们将具体解释。
首先，如果不考虑循环前缀，我们把式(1)中的卷积部分写为矩阵形式，即
h T ∗ x T = h T [ x 0 x 1 ⋯ x N − 1 0 ⋯ 0 0 x 0 x 1 ⋯ x N − 1 ⋯ 0 0 0 ⋱ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 0 0 x 0 x 1 ⋯ x N − 1 ] ∈ C 1 × ( N + L − 1 ) (2) \begin{aligned} & \boldsymbol h^T * \boldsymbol x^T \\ &= \boldsymbol h^T \left[ \begin{matrix} x_0& x_1& \cdots& \begin{matrix} x_{N-1}& 0& \cdots& \ \ \ 0\\ \end{matrix}\\ 0& x_0& x_1& \begin{matrix} \cdots& x_{N-1}& \cdots& 0\\ \end{matrix}\\ 0& 0& \ddots& \begin{matrix} \ \ \cdots& \,\, \ddots& \cdots& 0\\ \end{matrix}\\ 0& 0& 0& \begin{matrix} x_0& x_1& \cdots& x_{N-1}\\ \end{matrix}\\ \end{matrix} \right] \in \mathbb C^{1 \times (N+L-1)} \end{aligned} \tag{2} hT∗xT=hT⎣⎢⎢⎡x0000x1x000⋯x1⋱0xN−10⋯ 0⋯xN−1⋯0 ⋯⋱⋯0x0x1⋯xN−1⎦⎥⎥⎤∈C1×(N+L−1)(2)
考虑循环前缀，循环前缀的长度与 L L L（信道tap的数量，若延时拓展为 T d T_d Td，信号带宽为 W W W，则 L = T d / W L=T_d/W L=Td/W）相关，具体大小为 L − 1 L-1 L−1，定义加入循环前缀后的信号向量为
x ′ = [ x N − L + 1 , x N − L + 2 ， ⋯ , x N − 1 , x 0 , x 1 , ⋯ x N − 1 ] T = [ x N − L + 1 , x N − L + 2 ， ⋯ , x N − 1 ⏟ Added prefix in the head with length L − 1 , x ] T ∈ C N + L − 1 (3) \begin{aligned} \boldsymbol x^{\prime} &= [x_{N-L+1}, x_{N-L+2}， \cdots, x_{N-1}, x_0, x_1, \cdots x_{N-1}]^T \\ &= [\underset{{\text{ Added prefix in the head with length } L-1 }} {\underbrace{ x_{N-L+1}, x_{N-L+2}， \cdots, x_{N-1}}}, \boldsymbol x]^T \in \mathbb C^{N+L-1} \end{aligned} \tag{3} x′=[xN−L+1,xN−L+2，⋯,xN−1,x0,x1,⋯xN−1]T=[ Added prefix in the head with length L−1 xN−L+1,xN−L+2，⋯,xN−1,x]T∈CN+L−1(3)
加入循环前缀后，把 x ′ \boldsymbol x^{\prime} x′代入到式(1)中的 x \boldsymbol x x，我们可以写出类似(2)的矩阵表达式：
h T ∗ x ′ T = h T [ x N − L + 1 ⋯ x N − 1 x 0 x 1 ⋯ x N − 1 0 ⋯ 0 0 x N − L + 1 ⋯ x N − 1 x 0 x 1 ⋯ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ x N − 1 ⋱ x 1 ⋯ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 x N − L + 1 ⋯ x N − 1 x 0 x 1 ⋯ x N − 1 ] (4) \begin{aligned} & \boldsymbol h^T * \boldsymbol x^{\prime \ T} \\ & = \boldsymbol h^T \left[ \begin{matrix}{} x_{N-L+1}& \cdots& x_{N-1}& x_0& x_1& \cdots& x_{N-1}& 0& \cdots& 0\\ 0& x_{N-L+1}& \cdots& x_{N-1}& x_0& x_1& \cdots& \ddots& \ddots& 0\\ \vdots& \ddots& \ddots& \ddots& x_{N-1}& \ddots& x_1& \cdots& \ddots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& x_{N-L+1}& \cdots& x_{N-1}& x_0& x_1& \cdots& x_{N-1}\\ \end{matrix} \right] \end{aligned} \tag{4} hT∗x′ T=hT⎣⎢⎢⎢⎡xN−L+10⋮0⋯xN−L+1⋱⋯xN−1⋯⋱0x0xN−1⋱xN−L+1x1x0xN−1⋯⋯x1⋱xN−1xN−1⋯x1x00⋱⋯x1⋯⋱⋱⋯00⋮xN−1⎦⎥⎥⎥⎤(4)
我们将上式出现的矩阵做区分，如下图所示，可以发现中间部分是一个循环矩阵(Circulant Matrix)，对应着循环卷积，因此我们得出结论：循环前缀可以将线性卷积转化为循环卷积。
因此，在加入循环前缀后，我们可以等效出循环卷积，为了保持循环卷积维度的一致性，我们对 h \boldsymbol h h做扩展，令
h ′ = [ h 0 , ⋯ , h L − 1 , 0 , ⋯ , 0 ] ∈ C N × 1 \boldsymbol h^{\prime} = [h_0, \cdots, h_{L-1}, 0, \cdots, 0] \in \mathbb C^{N \times 1} h′=[h0,⋯,hL−1,0,⋯,0]∈CN×1
我们令
C = [ h 0 h 1 h 2 ⋯ h L − 2 h L − 1 0 0 ⋯ 0 0 h 0 h 1 h 2 ⋱ h L − 2 h L − 1 0 ⋱ 0 0 0 h 0 h 1 h 2 ⋱ h L − 2 h L − 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 0 h 0 h 1 h 2 ⋯ h L − 2 h L − 1 h L − 1 0 ⋯ 0 0 h 0 h 1 h 2 ⋯ h L − 2 h L − 2 h L − 1 0 0 ⋱ 0 h 0 h 1 ⋱ ⋮ h L − 3 h L − 2 h L − 1 0 0 ⋱ 0 h 0 ⋱ h 2 ⋮ ⋱ h L − 2 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ h 1 h 1 ⋯ h L − 3 h L − 2 h L − 1 0 0 ⋯ 0 h 0 ] ∈ C N × N \boldsymbol C = \left[ \begin{matrix}{} h_0& h_1& h_2& \cdots& h_{L-2}& h_{L-1}& 0& 0& \cdots& 0\\ 0& h_0& h_1& h_2& \ddots& h_{L-2}& h_{L-1}& 0& \ddots& 0\\ 0& 0& h_0& h_1& h_2& \ddots& h_{L-2}& h_{L-1}& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& 0\\ 0& \cdots& 0& 0& h_0& h_1& h_2& \cdots& h_{L-2}& h_{L-1}\\ h_{L-1}& 0& \cdots& 0& 0& h_0& h_1& h_2& \cdots& h_{L-2}\\ h_{L-2}& h_{L-1}& 0& 0& \ddots& 0& h_0& h_1& \ddots& \vdots\\ h_{L-3}& h_{L-2}& h_{L-1}& 0& 0& \ddots& 0& h_0& \ddots& h_2\\ \vdots& \ddots& h_{L-2}& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& h_1\\ h_1& \cdots& h_{L-3}& h_{L-2}& h_{L-1}& 0& 0& \cdots& 0& h_0\\ \end{matrix} \right] \in \mathbb C^{N \times N} C=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡h000⋮0hL−1hL−2hL−3⋮h1h1h00⋱⋯0hL−1hL−2⋱⋯h2h1h0⋱0⋯0hL−1hL−2hL−3⋯h2h1⋱0000⋱hL−2hL−2⋱h2⋱h00⋱0⋱hL−1hL−1hL−2⋱⋱h1h00⋱⋱00hL−1hL−2⋱h2h1h00⋱000hL−1⋱⋯h2h1h0⋱⋯⋯⋱⋱⋱hL−2⋯⋱⋱⋱000⋮0hL−1hL−2⋮h2h1h0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∈CN×N
可以得到， h ′ \boldsymbol h^{\prime} h′与 x \boldsymbol x x的循环卷积
h ′ T ⊗ x T = h ′ T [ x 0 x 1 ⋯ x N − 1 x N − 1 x 0 ⋱ x N − 2 ⋮ ⋱ ⋱ x 1 x N − L + 1 ⋯ x N − 1 x 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] = [ h 0 , ⋯ , h L − 1 , 0 , ⋯ , 0 ] [ x 0 x 1 ⋯ x N − 1 x N − 1 x 0 ⋱ x N − 2 ⋮ ⋱ ⋱ x 1 x N − L + 1 ⋯ x N − 1 x 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] = x T C \begin{aligned} & \boldsymbol h^{\prime \ T} \otimes \boldsymbol x^T \\ &= \boldsymbol h^{\prime \ T} \left[ \begin{matrix}{} x_0& x_1& \cdots& x_{N-1}\\ x_{N-1}& x_0& \ddots& x_{N-2}\\ \vdots& \ddots& \ddots& x_1\\ x_{N-L+1}& \cdots& x_{N-1}& x_0\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ \end{matrix} \right] \\ & = [h_0, \cdots, h_{L-1}, 0, \cdots, 0] \left[ \begin{matrix}{} x_0& x_1& \cdots& x_{N-1}\\ x_{N-1}& x_0& \ddots& x_{N-2}\\ \vdots& \ddots& \ddots& x_1\\ x_{N-L+1}& \cdots& x_{N-1}& x_0\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\\ \end{matrix} \right] \\ & =\boldsymbol x^T \boldsymbol C \end{aligned} h′ T⊗xT=h′ T⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x0xN−1⋮xN−L+1⋮x1x0⋱⋯⋮⋯⋱⋱xN−1⋮xN−1xN−2x1x0⋮⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=[h0,⋯,hL−1,0,⋯,0]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x0xN−1⋮xN−L+1⋮x1x0⋱⋯⋮⋯⋱⋱xN−1⋮xN−1xN−2x1x0⋮⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=xTC
那么就有
h ′ T ⊗ x T = x T C \boldsymbol h^{\prime \ T} \otimes \boldsymbol x^T = \boldsymbol x^T \boldsymbol C h′ T⊗xT=xTC
又因为矩阵 C \boldsymbol C C是循环阵，基于另一篇博客另一篇博客循环卷积和线性卷积（矩阵视角)，我们可以对 C \boldsymbol C C做谱分解
C = F Λ F − 1 \boldsymbol C = \boldsymbol F \boldsymbol \Lambda \boldsymbol F^{-1} C=FΛF−1
其中 F \boldsymbol F F为DFT矩阵， Λ \boldsymbol \Lambda Λ为对角阵（对角线元素一般为复数）。令接收信号为 y ∈ C N \boldsymbol y \in \mathbb C^{N} y∈CN，那么 y \boldsymbol y y可以表示为
y T = x T C = x T F Λ F − 1 \boldsymbol y^T = \boldsymbol x^T \boldsymbol C = \boldsymbol x^T \boldsymbol F \boldsymbol \Lambda \boldsymbol F^{-1} yT=xTC=xTFΛF−1
转化成列向量形式为，因为 F T = F \boldsymbol F^T = \boldsymbol F FT=F，所以
y = F − 1 Λ F x ⇒ r = F y = Λ F F − 1 d = Λ d \begin{aligned} &\boldsymbol y = \boldsymbol F^{-1} \boldsymbol \Lambda \boldsymbol F \boldsymbol x \\ & \Rightarrow \boldsymbol r = \boldsymbol F \boldsymbol y = \boldsymbol \Lambda^{} \boldsymbol F \boldsymbol F^{-1} d = \boldsymbol \Lambda^{} \boldsymbol d \end{aligned} y=F−1ΛFx⇒r=Fy=ΛFF−1d=Λd
其中 r = F y \boldsymbol r = \boldsymbol F \boldsymbol y r=Fy表示将接收到的时域信号 y \boldsymbol y y转换到频域上， x = F − 1 d \boldsymbol x = \boldsymbol F^{-1} \boldsymbol d x=F−1d表示将发送的频域信号 d \boldsymbol d d转换到时域上。信号的变换过程如下图所示，频域上的数据 d \boldsymbol d d经过IDFT变换转换为时域信号 x \boldsymbol x x，再依据式(3)加入循环前缀，经过信道（线性时不变系统）得到接收信号 y ′ \boldsymbol y^{\prime} y′，随后在接收端移除前缀，将剩余的信号 y \boldsymbol y y经过DFT变换转换到频域信号 r \boldsymbol r r。
注意到，上述中间过程都是在时域上操作，如果把时域操作看作是黑匣子，只考虑收发两端的频域信号，那么问题在频域上就可以大大简化，如下图所示
从频域上看，引入循环前缀后，因为矩阵 Λ \boldsymbol \Lambda Λ是对角阵，所以消除了符号间干扰（ISI）,发送符号与接收符号之间可以一一对应，即
r n = h ~ n d n + w n r_n = \tilde h_n d_n + w_n rn=h~ndn+wn
其中 h ~ n \tilde h_n h~n为第 n n n个子载波上的信道系数，不同的子载波对应不同的信道系数，体现了宽带通信系统中出现的频率选择性衰落。对上式的一种解释是，OFDM把宽带通信拆分成了多个并行的窄带通信（并行的多个子信道），信号并行地在各个窄带上传输。
小结
OFDM引入循环前缀扩充了原本信号向量与信道向量（注意区分这里的信道向量强调采样后的多径，而不是多天线）进行线性卷积的维度，在更高维度下，我们发现部分卷积结果可以直接用循环卷积表征（由式4可以看出），因此我们认为：循环前缀的引入可以将线性卷积转化为循环卷积。转化为循环卷积后，我们可以借助循环矩阵来实现循环卷积，又因为循环矩阵的特征分解为 F Λ F − 1 \boldsymbol F \boldsymbol \Lambda \boldsymbol F^{-1} FΛF−1，其中 F \boldsymbol F F为DFT矩阵，根据下面的式子
y = F − 1 Λ F x ⇒ r = F y = Λ F F − 1 d = Λ d \begin{aligned} &\boldsymbol y = \boldsymbol F^{-1} \boldsymbol \Lambda \boldsymbol F \boldsymbol x \\ & \Rightarrow \boldsymbol r = \boldsymbol F \boldsymbol y = \boldsymbol \Lambda^{} \boldsymbol F \boldsymbol F^{-1} d = \boldsymbol \Lambda^{} \boldsymbol d \end{aligned} y=F−1ΛFx⇒r=Fy=ΛFF−1d=Λd
可以在频域上消除符号间干扰(ISI)。