[Project Euler] Problem 24

A permutation is an ordered arrangement of objects. For example, 3124 is one possible permutation of the digits 1, 2, 3 and 4. If all of the permutations are listed numerically or alphabetically, we call it lexicographic order. The lexicographic permutations of 0, 1 and 2 are:

012   021   102   120   201   210

What is the millionth lexicographic permutation of the digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9?

对 0123456789 作全变换，按由小到大排列，第1000，000个数是那个？ 

我们先来看看数字少的情况。

就拿上面的012来说吧

我们赋予每一位一个权值

   0      1      2

  2！    1！    0

我们交换0和1，然后对后两位由小到大排序，102是第3小排列，比第1小排列增加了2！

交换0和2，然后对后两位由小到大排序，201位于第5小排列，比第1位增加了2！×2

我们来看看第6小排列，比第一小排列增加了5

而 5 = 2×2！ + 1×1！

我们先把第1个与位于它后面2位的数字交换，变为 210，然后把第一位数字之后的数字排序 变为 201，这样就增加了4

然后把第第二位与位于它后面1位的数字交换，变为201，再把第二位数字后面的数字排序，变为210，这样就增加了5，既第6小排列

我们再来看看四个数字的

     0      1      2       3

    3！    2！   1！     0

我们来找第23个排列，要比第1个排列大22

22 = 3×3！ + 2×2！

按照上面的思路

先把第一位和它后面3位的数字交换，变为 3120， 然后把第一位之后的数排序 为 3012  这样就增加了  3×3！

再把第二位和它后面2位的数字交换，再排序，变为 3201，就是最后结果了

所以我们要找0123456789的1000，000位也可以按照这样的思路，增加999，999就是

     0    1    2     3     4     5      6     7      8      9

    9!   8!   7!    6!    5!    4!    3!     2!    1!     0

    2    6    6     2      5     1     2       1     1

第3排就是该位和它要交换的位差的位数

我们用编程来看看这一过程

#include < iostream >
#include < vector >
#include < algorithm >
using namespace std;

int main(){
int factorial[ 9 ];
int sign[ 9 ];
int mul = 1 ;
int sum = 999999 ;
int tmp;
vector < int > out ;

for ( int i = 0 ; i < 10 ; i ++ ){
out .push_back(i);
}

for ( int i = 1 ; i < 10 ; i ++ ){
mul = mul * i;
factorial[ 9 - i] = mul;
}

for ( int i = 0 ; i < 9 ; i ++ ){
sign[i] = sum / factorial[i];
sum -= sign[i] * factorial[i];
}

for ( int i = 0 ; i < 9 ; i ++ ){
cout << i << ' \t ' << sign[i] << ' \t ' << factorial[i] << endl;
}
cout << endl;

for ( int i = 0 ; i < 9 ; i ++ ){
tmp = out [i];
out [i] = out [sign[i] + i];
out [sign[i] + i] = tmp;
sort( out .begin() + i + 1 , out .end());
for ( int j = 0 ; j < 10 ; j ++ ){
cout << out [j];
}
cout << endl;
}

return 0 ;
}

前面横着的是我们得到的那张表。中间是要交换的位数，后面是权值。

由于最后一位9对应的权值和要移的位数始终为0，所以没有列出

下面是每次调整排序后的结果

最后一行就是最后的结果