眼底视网膜血管增强方法（四）Frangi滤波

眼底视网膜血管增强方法（四）Frangi滤波

Frangi1滤波是Frangi在1998年，运算Hessian矩阵的特征值构造出了一种滤波器来增强血管结构。Hessian矩阵实际是一个二阶偏导矩阵，矩阵的特征向量在图像边缘检测方面有着重要的作用。下面，我们先看一下什么是hessian矩阵。

Hessian 矩阵的定义

一个二元Hessian矩阵定义为：

H=[IxxIyxIxyIyy]

其中， Ixx 图像I在x方向的二阶偏导数， Iyy 表示图像I在y方向的二阶偏导数， Ixy = Iyx 为图像I在xy方向的混合偏导数。即：

Ixx=I(i+1,j)−2∗I(i,j)+I(i−1,j)Iyy=I(i,j+1)−2∗I(i,j)+I(i,j−1)Ixy=I(i+1,j+1)−I(i,j+1)−I(i+1,j)+I(i,j)

由于二阶偏导数对噪声比较敏感，因此人们在求Hessian矩阵时一般先进行高斯平滑，即

Ixx=I∗Gδ(x,y)∗∇2x

式中Gσ(x,y)表示尺度为σ的二维高斯函数。而又由于卷积的交换律，上式可以看成先求高斯二阶微分，然后再与图像卷积，即

Ixx=I∗(Gδ(x,y)∗∇2x)

高斯函数的二阶偏导的数学表达式为

G(x,y;δ)=12πδexp(−x2+y22δ2)Gxx(x,y;δ)=x−δ2δ4G(x,y;δ)Gyy(x,y;δ)=y−δ2δ4G(x,y;δ)Gxy(x,y;δ)=xyδ4G(x,y;δ)

高斯函数的二阶偏导示意图如下：

高斯函数二阶偏导示意图

Frangi滤波增强

Hessian矩阵的特征值能够很好地描述眼底图像的血管信息。眼底的血管部分是一个管状的结构，高斯二阶导的响应值比较大；眼底的背景是均匀部分，高斯二阶导的响应值比较小。因此，血管点处的Hessian矩阵特征值一大一小，血管交叉点处Hessian矩阵特征值两个都很大，背景点处Hessian矩阵的特征值两个都很小。Frangi滤波正是运算Hessian矩阵特征值在图像上的这种特征构造出来的一种边缘检测增强滤波器。令 λ1 , λ2 表示Hessian矩阵的特征值，且 |λ1|<|λ2| ，我们得到两个重要的变量Rb和S：

Rb=λ1λ2S=λ21+λ22−−−−−−√

根据上式描述，我们很容可以看得出只有在角点或者孤立点时，Rb才比较大；当λ1≈0或者λ1,λ2都很小时，Rb接近于零。S在背景点处比较小，在血管点处比较大。因此，我们可以得到Frangi滤波器的传递函数为：

V=⎧⎩⎨⎪⎪0,exp(−R2b2β2)(1−exp(−S22c2)),ifλ2<0others

同样的，我们要对不同大小的血管进行尺度匹配:

Vo=maxδ(V(δ))

Frangi滤波增强效果下图 所示

Frangi响应图

---

1. Frangi A F, Niessen W J, Vincken K L, et al. Multiscale vessel enhancement filtering[C]//International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention. Springer Berlin Heidelberg, 1998: 130-137. ↩