离散傅里叶变换公式推导

离散傅里叶变换公式推导

先抛变换公式：
$$F_m=\sum _{n=0}^{N-1}{f}_n{e}^{-2\pi imn/N}\leftrightarrow f_n=\frac{1}{N}\sum _{m=0}^{N-1}{F}_m{e}^{2\pi imn/N}$$
式中的N是数据点个数
讲道理一开始完全看不懂公式这么来的，一顿百度后我学到了很多，但就是没学到怎么推公式。好吧只能自己推。
先来看一下DFT的物理意义：
（图我网上随便下的）
离散傅里叶变换是把周期性离散信号变换到频域上，大家知道，周期信号变到频域上是离散的。离散就是在个别点$\{x_n\}$有值。我是学物理的，物理里面离散的可以这么表示：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{N-1}{f}_n\delta (x-x_n)$$
$\delta (x)$是个在$x=0$处无穷大，其余位置为0且全空间积分为1的函数${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1$

周期性信号变到频域上，那不就是傅里叶级数吗。自然有公式
$$\begin{array}{rl}{F}_m& ={\int }_{-T}^T\sum _{n=0}^{N-1}{f}_n\delta (x-x_n)e^{-ix{k}_m}dx\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}\int f_n\delta (x-x_n)e^{-ix{k}_m}dx\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}{f}_n{e}^{-i{x}_n{k}_m}\end{array}$$
接下来我们假设$dx,dk$分别是$\{x_n\}$,$\{k_n\}$的间距，那么：
$$x_n=ndx,k_m=mdk$$
代入上式：
$$\begin{array}{rl}{F}_m& =\sum _{n=0}^{N-1}{f}_n{e}^{-i{x}_n{k}_m}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}{f}_n{e}^{-imndxdk}\end{array}$$
是不是和最上面的式子很接近了？还差最后一步，确定$dxdk$的值。
下面我懒得写了，只说一下做法吧

1. 先写出$F_m$到$f_n$的逆变换，
   $$f_n=c\sum _{n=0}^{N-1}{F}_m{e}^{imndxdk}$$
   $c$是个系数，之后应该能计算出是$1/N$
2. 把上面的$F_m$表达式带进去,就能得到用$f_{n^{\prime }}$求和表达的$f_n$,这要求$dxdk$满足一定关系，其实就是满足$$dxdk=\frac{2\pi }{N}$$
3. 最后把公式里的$dxdk$替换就完事了

这个公式推导倒是不难，主要问题是理解不要出现偏差。所谓离散傅里叶变换是把周期离散信号变换到周期离散频谱，这是真的离散信号。一开始我以为是连续信号在某些给定点采样得到的值呢（没有学过信号相关的内容，在计算物理中遇到了这个离散傅里叶变换）。