动规之删数问题

删数问题

问题描述
现有n个正整数组成的序列a，从中删除一个数，得分是其本身同左、右相邻的数的乘积，
然后再在剩余的整数中继续删除，注意序列两端的数字a1和an是不能删除的，求这样删除n-2个整数后的最大得分。

例如有四个数3 、4、5、6，按照先4后5的删除顺序，其得分为345+356=150，
按照先5后4的删除顺序，其得分为456+346=192，因此最大得分为192。

测试样例：

• 第一组

  4
  3 4 5 6

• 第二组

  5
  3 6 7 8 2

问题分析
----又是一个典型的区间动规。
最优子结构：

dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j] + a[i] * a[k] * a[j];

对于第i个物品到第j个物品，假设最后删掉k得到的结果最大，那么最后一次删除时，得到的分数就是 a[i] * a[k] * a[j]。那么总的得分就是需要加上之前删掉k的左右两边除了i，j之外所有数的和，即dp[i][j] 的两个子问题，分别是dp[i][k] 和dp[k][j]。由此便可得出上面所写的最优子结构

代码

/*
删数问题： 
现有n个正整数组成的序列a，从中删除一个数，得分是其本身同左、右相邻的数的乘积，
然后再在剩余的整数中继续删除，注意序列两端的数字a1和an是不能删除的，求这样删除n-2个整数后的最大得分。

例如有四个数3 、4、5、6，按照先4后5的删除顺序，其得分为3*4*5+3*5*6=150，
按照先5后4的删除顺序，其得分为4*5*6+3*4*6=192，因此最大得分为192。

测试样例： 

4
3 4 5 6
 
5
3 6 7 8 2 

*/ 
#include
#include
#include

using namespace std;

#define MAX_N 1010

static int a[MAX_N];//用来保存序列 
static int dp[MAX_N][MAX_N];//i  j  用来保存删除第i个数到第j个数所得到的最优值 


void dp1(int n)
{
	int j = 0;
	for(int r = 3;r <= n;r ++ ){
		for(int i = 1;;i ++ ){
			int j = i + r -1;
			for(int k = i + 1;k <= j - 1;k ++ ){
				dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[k]*a[j]);
			}
			if(j >= n) break;
		}
	} 
	cout << "删除n-2个数之后，得到的最大值为：" << endl;
	cout << dp[1][n] << endl;
}

int main()
{
	int n;
	cout << "请输入序列的位数n" << endl;
	while(cin >> n,n){
		for(int i = 1;i <= n;i ++ ){
			cin >> a[i];
		}
		memset(dp,0,MAX_N*MAX_N);
		for(int i = 1;i <= n - 1;i ++ ){
			dp[i][i + 1] = 0;
		}
		dp1(n);
		cout << "请输入序列的位数n" << endl;
	}  
	return 0;
}